Derivada de ln x, lnx ^ 2, 1 / lnx y m谩s

<p>La derivada de ln x – Parte del c谩lculo es memorizar las reglas derivadas b谩sicas como la regla del producto, la regla de la potencia o la regla de la cadena. Una de las reglas que ver谩 surgir a menudo es la regla para la derivada de ln x. En la siguiente lecci贸n, veremos algunos ejemplos de c贸mo aplicar esta regla para encontrar diferentes tipos de derivadas. Tambi茅n veremos c贸mo el uso de las leyes de los logaritmos puede facilitar a煤n m谩s la obtenci贸n de este tipo de derivadas.

Veamos nuestro primer m茅todo, la regla de la cadena. 驴C贸mo funciona la regla de la cadena? Bueno, en primer lugar, la regla de la cadena es una f贸rmula para calcular la composici贸n de dos o m谩s funciones. Digamos que tenemos una funci贸n con un argumento complicado, como sin x2. La funci贸n es seno y el argumento es x2. Si el argumento fuera simplemente x, diferenciar铆amos sen x y obtendr铆amos cos x.

Índice de contenidos

Derivada de ln x

La derivada de ln (x) es una derivada bien conocida. Esta lecci贸n nos mostrar谩 los pasos necesarios para encontrar esta derivada y repasar谩 una aplicaci贸n del mundo real que involucra la derivada de ln (x).

Derivada ln xDerivada ln x

Derivada de Ln (x) Pasos para resolver

Queremos encontrar la derivada de ln (x). La derivada de ln (x) es 1 / x y en realidad es una derivada bien conocida que la mayor铆a recuerda. Sin embargo, siempre es 煤til saber de d贸nde proviene esta f贸rmula, as铆 que echemos un vistazo a los pasos para encontrar esta derivada.

Para encontrar la derivada de ln (x), lo primero que hacemos es dejar y = ln (x). A continuaci贸n, usamos la definici贸n de un logaritmo para escribir y = ln (x) en forma logar铆tmica. La definici贸n de logaritmos establece que y = log b (x) es equivalente a b y = x. Por lo tanto, por la definici贸n de logaritmos y el hecho de que ln (x) es un logaritmo con base e, tenemos que y = ln (x) es equivalente a e ^ y = x.

y = ln (x) es equivalente a e ^ y = x

De acuerdo, solo unos pocos pasos m谩s, 隆y tendremos nuestra f贸rmula! Lo siguiente que queremos hacer es tratar y como una funci贸n de x, y tomar la derivada de cada lado de la ecuaci贸n con respecto a x. Usamos la regla de la cadena en el lado izquierdo de la ecuaci贸n para encontrar la derivada. los cadena de reglas es una regla que usamos para tomar la derivada de una composici贸n de funciones y tiene dos formas.

f贸rmula de la regla de la cadenaf贸rmula de la regla de la cadena

El lado izquierdo de la ecuaci贸n es e ^ y, donde y es una funci贸n de x, por lo que si dejamos f (x) = e ^ x y g (x) = y, entonces f (g (x)) = e ^ y. Dado que la derivada de e a una variable (como e ^ x) es la misma que la original, la derivada de f ‘(g (x)) es e ^ y. Por lo tanto, seg煤n la regla de la cadena, la derivada de e y es e ^ y dy / dx. En el lado derecho tenemos la derivada de x, que es 1.

Tenemos (e ^ y) dy / dx = 1. Ahora, recuerde que e y = x. Usaremos este hecho para reemplazar x en nuestra ecuaci贸n para e y.

pasos para la derivada pasos para la derivada

Esto nos da la ecuaci贸n (x) dy / dx = 1. 隆Ahora nos estamos acercando mucho! 驴Est谩s tan emocionado como yo? Podemos dividir ambos lados de esta ecuaci贸n por x para obtener dy / dx = 1 / x. Lo 煤ltimo es recordar que y = ln (x) y reemplazar esto en nuestra ecuaci贸n para y. Tenemos (e ^ y) dy / dx = 1. Ahora, recuerde que e ^ y = x. Usaremos este hecho para reemplazar x en nuestra ecuaci贸n para e y.

Derivada ln xDerivada ln x

隆Ta-da! Ahora, vemos que d / dx ln (x) = 1 / x, y ahora sabemos por qu茅 esta f贸rmula para la derivada de ln (x) es verdadera. Entonces, 驴cu谩l es nuestra soluci贸n? La derivada de ln (x) es 1 / x.

Derivada de Ln (x) Resumen

Recuerde los siguientes puntos al encontrar la derivada de ln (x):

  • La derivada de ln (x) ln鈦 (x) es 1x1x.
  • En ciertas situaciones, puede aplicar las leyes de los logaritmos a la funci贸n primero y luego tomar la derivada.
  • Valores como ln (5) ln鈦 (5) y ln (2) ln鈦 (2) son constantes; sus derivadas son cero.
  • ln (x + y) ln鈦 (x + y) NO ES IGUAL a ln (x) + ln (y) ln鈦 (x) + ln鈦 (y); para una funci贸n con adici贸n dentro del tronco natural, necesita la regla de la cadena.

  • ln (x 鈥 y) ln鈦 (x 鈥 y) NO ES IGUAL a ln (x) 鈥搇n (y) ln鈦 (x) 鈥搇n鈦 (y); para una funci贸n con resta dentro del logaritmo natural, necesita la regla de la cadena.

Derivada de lnx ^ 2

Los pasos para calcular

Veamos nuestro primer m茅todo, el cadena de reglas. 驴C贸mo funciona la regla de la cadena? Bueno, en primer lugar, la regla de la cadena es una f贸rmula para calcular la composici贸n de dos o m谩s funciones. Digamos que tenemos una funci贸n con un argumento complicado, como sin x2. La funci贸n es seno y el argumento es x2. Si el argumento fuera simplemente x, diferenciar铆amos sen x y obtendr铆amos cos x.

Para usar la regla de la cadena, imaginamos que la funci贸n tiene un argumento simple y escribimos la derivada. En este ejemplo, la derivada de sen x2 es cos x2. Y luego, multiplicamos por la derivada del argumento. La derivada de x2 es 2x. Por lo tanto, usando la regla de la cadena, la derivada de sen x2 es cos x2 por 2x o solo 2x cos x2.

Paso 1: diferenciar con la regla de la cadena

La derivada de ln x es 1 / x, entonces la derivada de ln x2 es 1 / x2 veces la derivada de x2:

Paso 2: simplificaEntonces, la derivada de x2 es 2x:

1 / x2 por 2x se puede escribir como 2x / x2.

Cancelar el t茅rmino x com煤n:

Paso 1: reescribe ln x2 usando propiedades de logaritmo

Ahora, veamos nuestro segundo m茅todo, el propiedades de los logaritmos, que son b谩sicamente las propiedades o caracter铆sticas de los exponentes.

El logaritmo de x elevado a n es igual a n veces el logaritmo de x. Por tanto, ln x2 = 2 ln x.

Paso 2: diferenciar

Dej谩ndonos con la derivada de ln x, que es 1 / x La constante 2 sale de la diferenciaci贸n:

El 2 multiplicado por 1 / x se escribe como 2 / x:

Paso 3: simplifica

Por tanto, la derivada de ln x2 es 2 / x. Tenga en cuenta que este resultado concuerda con las gr谩ficas de las rectas tangentes para x tanto positivo como negativo. Para x = 2, la derivada es 2/2 = 1, lo que concuerda con la gr谩fica. Y para x = -2, la derivada es 2 / (- 2) = -1, que concuerda con la recta tangente con pendiente negativa en x = -2.

Antiderivada de ln x

鈭玪nxdx = xlnx 鈭 x + C

Explicaci贸n:

La integral (antiderivada) de lnx es interesante porque el proceso para encontrarla no es el esperado.

Usaremos la integraci贸n por partes para encontrar 鈭玪nxdx:
鈭玼dv = uv 鈭 鈭玽du
Donde u y v son funciones de x.

Aqu铆, dejamos:
u = lnx 鈫 dudx = 1x 鈫 du = 1xdx y dv = dx 鈫 鈭玠v = 鈭玠x 鈫 v = x

Haciendo las sustituciones necesarias en la f贸rmula de integraci贸n por partes, tenemos:
鈭玪nxdx = (lnx) (x) 鈭掆埆 (x) (1xdx)
鈫 (lnx) (x) 鈭掆埆x (1xdx)
= xlnx 鈭 鈭1dx
=xlnx 鈭 x + C 鈫 (隆no olvides la constante de integraci贸n!)

Derivada de 1 / lnx

= 鈭1x (lnx) 2

Explicaci贸n:

puede hacer esto simplemente como ((lnx) 鈭1) ‘

= – (lnx) 鈭2 (lnx) ‘

= – (lnx) 鈭21x

= 鈭1x (lnx) 2

si quieres jugar con ey logs, supongo que podr铆as decir eso

1y = lnx

e1y = elnx = x

asi que
(e1y) ‘= 1

y
(e1y) ‘= e1y (1y)’

= e1y鈰呪垝 (1y2) y ‘

Entonces 鈭抏1y (1y2) y ‘= 1

y ‘= – y2鈰1e1y

= – (1lnx) 2鈰1x

= 鈭1x (lnx) 2

Lo mismo pero un poco m谩s complicado y complicado

Derivada de (lnx) ^ 2

dydx = 2x

Explicaci贸n:

Aplicando la regla de la cadena, junto con las derivadas d / dx ln (x) = 1x y ddxx2 = 2x, tenemos

dydx = ddxln (x2)

= 1×2 (ddxx2)

= 1×2 (2x)

= 2x

Derivada de lnx 3

Tengo y ‘= 3x

Explicaci贸n:

Podemos utilizar una de las propiedades de los logs que nos permiten escribirlo como:
y = 3ln (x)
Entonces podemos derivar como de costumbre:
y ‘= 3鈰1x

Tambi茅n podemos usar la regla de la cadena para obtener el registro primero tal como est谩 y multiplicar por la derivada del argumento:
y ‘= 1×3鈰3×2 = simplificar:
= 3 veces

驴Cu谩l es la derivada de un logaritmo natural?

La funci贸n exponencial tiene una funci贸n inversa, que se llama logaritmo natural y se denota como ln (x).

驴Cu谩l es la derivada de ln 2 x?

La respuesta es 0. La funci贸n, ln 2, es una constante. Si quieres saber la derivada de ln x en x = 2, entonces la respuesta es 1/2, ya que la derivada de f (x) = ln x es f ‘(x) = 1 / x y cuando eval煤as eso en x = 2, obtienes f ‘(2} = 1/2.

驴Qu茅 son ln y log?

Por lo general, log (x) significa el logaritmo en base 10; tambi茅n se puede escribir como log10 (x). ln (x) significa el logaritmo en base e; tambi茅n se puede escribir como loge (x). ln (x) te dice qu茅 potencia debes aumentar e para obtener el n煤mero x.

驴D贸nde se define el tronco natural?

Dado como el tronco natural se describe en los libros de matem谩ticas, hay poco “natural鈥漇obre esto: es definido como la inversa de un ex, un exponente bastante extra帽o ya. 鈥 En (x) 鈦 (Logaritmo natural) es el tiempo para alcanzar la cantidad x, asumiendo que crecimos continuamente desde 1.0.

驴Cu谩l es la derivada de Ln (x)?

La derivada de un logaritmo de una funci贸n. La derivada de registros con una base distinta de e. Primero, veamos una gr谩fica de la funci贸n logar铆tmica con base e, es decir: f (x) = loge (x) (generalmente escrito 鈥渓n x鈥).

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