Derivada de ln x, logaritmo natural y más

Derivada de ln x, logaritmo natural – El logaritmo natural de un número x es el logaritmo de base e, donde e es la constante matemática aproximadamente igual a 2,718. Por lo general, se escribe usando la notación abreviada ln x, en lugar de log ex como cabría esperar. Por ejemplo, los logaritmos se utilizan para resolver la vida media, la constante de desintegración o el tiempo desconocido en problemas de desintegración exponencial. Son importantes en muchas ramas de las matemáticas y las ciencias y se utilizan en finanzas para resolver problemas de interés compuesto.

Las funciones exponenciales y sus correspondientes funciones inversas, llamadas funciones logarítmicas, tienen las siguientes fórmulas de diferenciación: Tenga en cuenta que la función exponencial f (x) = ex tiene la propiedad especial de que su derivada es la función misma, f ′ (x) = ex = f ( X).

La derivada de ln, ln x, ln (x)

Derivadas de funciones logarítmicas se basan principalmente en la regla de la cadena. Sin embargo, podemos generalizarlo para cualquier función diferenciable con función logarítmica. La diferenciación de logaritmo está solo bajo la base e, e, pero también podemos diferenciar bajo otras bases.

Derivada de ln xDerivada de ln x

Nuestra tarea es determinar cuál es la derivada del logaritmo natural. Comenzamos con la definición inversa. Si

y = ln x

luego

e ^ y = x

Ahora tome implícitamente la derivada de ambos lados con respecto a x recordando multiplicar por dy / dx en el lado izquierdo, ya que se da en términos de y, no x.

e ^ y dy / dx = 1

De la definición inversa, podemos sustituir x por e ^ y para obtener

x dy / dx = 1

Finalmente, divide por x para obtener

dy / dx = 1 / x

Hemos probado el siguiente teorema

La derivada de ln (2x)

Método 1

Usas la regla de la cadena:

(f∘g) ‘(x) = (f (g (x)))’ = f ‘(g (x)) ⋅g’ (x).

En su caso: (f∘g) (x) = ln (2x), f (x) = ln (x) y g (x) = 2x.

Dado que f ‘(x) = 1 / x y g’ (x) = 2, tenemos:

(f∘g) ‘(x) = (ln (2x))’ = 1 / 2x⋅2 =1 / x.

Método 2

Podemos usar la regla de la cadena aquí, nombrando u = 2x y recordando que la regla de la cadena establece que

dy / dx = (dy / du) (du / dx)

Entonces, ahora, para nuestra función ln (u):

dy / du = 1 / u

Y por la otra parte:

du / dx = 2

Ahora, agregándolos:

dy / dx = 1 / u⋅2 = (1 / 2x) ⋅2 =1 / x

Derivada de ln (x + 1)

(f∘g) ‘(x) = (f (g (x)))’ = f ‘(g (x)) ⋅g’ (x).

En su caso: (f∘g) (x) = ln (x + 1), f (x) = ln (x) y g (x) = x + 1.

Dado que f ‘(x) = 1 / x y g’ (x) = 1, tenemos:

(f∘g) ‘(x) = (ln (x + 1))’ = 1 / x + 1⋅1 =1 / x + 1.

Derivada de ln (x ^ 2)

Aplicando la regla de la cadena, junto con las derivadas d / dxln (x) = 1 / x y d / dx (x²) = 2x, tenemos

derivada de ln (x ^ 2)derivada de ln (x ^ 2)

Derivada de ln (3x)

para encontrar la derivada de ln (3x) entonces suponga que

ln (3x) = y

e ^ y = 3x

Ahora use la diferenciación implícita. Recuérdalo:

dy / dy⋅dy / dx = dy / dx

Si usa la diferenciación implícita …

e ^ y = 3x

Debería transformarse en …

e ^ y⋅dy / dx = 3

Por lo tanto:

dy / dx = 3 / e ^ y

dy / dx = 3 / 3x

dy / dx = 1 / x

También podrías diferenciarlo así

Derivada de ln (3x)Derivada de ln (3x)

¿Cuál es la derivada de ln 2 x?

La respuesta es 0. La función, ln 2, es una constante. Si quieres saber la derivada de ln x en x = 2, entonces la respuesta es 1/2, ya que la derivada de f (x) = ln x es f ‘(x) = 1 / x y cuando evalúas eso en x = 2, obtienes f ‘(2} = 1/2.

¿Cómo integra Ln (x)?

Estrategia: Utilice la integración por partes.

  • ln (x) dx. colocar. u = ln (x), dv = dx. luego encontramos. du = (1 / x) dx, v = x.
  • sustituir. ln (x) dx = u dv.
  • y utilizar la integración por partes. = uv – v du.
  • sustituya u = ln (x), v = x y du = (1 / x) dx.

¿Cuál es la derivada de un registro?

La derivada de un logaritmo de una función. La derivada de registros con una base distinta de e. Primero, veamos una gráfica de la función logarítmica con base e, es decir: f (x) = loge (x) (generalmente escrito “ln x”).

¿Qué significa Ln?

El logaritmo natural es el inverso de e, un término elegante para el opuesto. Hablando de fantasía, el nombre latino es logarítmico natural, dando la abreviatura ln. Ahora bien, ¿qué significa esta cosa inversa u opuesta? ex nos deja tiempo de conexión y crece. ln (x) ⁡ nos permite conectar el crecimiento y obtener el tiempo necesario.

¿Qué son ln y log?

Generalmente, Iniciar sesión(x) significa el logaritmo en base 10; también se puede escribir como Iniciar sesión10 (x). en(x) significa el logaritmo en base e; también se puede escribir como Iniciar sesiónex). en(x) te dice qué potencia debes aumentar e para obtener el número x.

¿Cómo hallas la derivada de ln?

Los pasos son los siguientes:

  • Sea y = ln (x).
  • Usa la definición de un logaritmo para escribir y = ln (x) en forma logarítmica. …
  • Trate y como una función de x, y obtenga la derivada de cada lado de la ecuación con respecto a x.
  • Usa la regla de la cadena en el lado izquierdo de la ecuación para encontrar la derivada.

¿Cómo se agrega LN?

ln (x / y) = ln (x) – ln (y)

  • ln (x / y) = ln (x) – ln (y)
  • El logaritmo natural de la división de xey es la diferencia de ln de x e ln de y.
  • Ejemplo: ln (7/4) = ln (7) – ln (4)

¿Cómo diferencia a ln3x?

Usando la regla de la cadena, dy / dx = 1 / 3x x 3. Sabes que ln x se diferencia a 1 / x por lo que ln 3x se diferenciaría a 1 / 3x multiplicado por el diferencial de lo que está en el paréntesis. Entonces 1 / 3x x 3 = 3 / 3x. Los 3 se cancelan dejándote con 1 / x.

¿Cuál es la derivada de una función exponencial?

Las funciones exponenciales y sus correspondientes funciones inversas, llamadas funciones logarítmicas, tienen las siguientes fórmulas de diferenciación: Tenga en cuenta que la función exponencial f (x) = ex tiene la propiedad especial de que su derivada es la función misma, f ′ (x) = ex = f ( X).

¿Qué significa dy dx?

Hay una serie de reglas simples que pueden usarse para permitirnos diferenciar muchas funciones fácilmente. Si y = alguna función de x (en otras palabras, si y es igual a una expresión que contiene números y x), entonces la derivada de y (con respecto a x) se escribe dy / dx, pronunciada “dee y por dee x”.

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