Fórmula combinada: definición, usos en probabilidad, ejemplos y más

La fórmula de combinación se utiliza para calcular el número de formas de seleccionar eventos de una colección de eventos, de modo que el orden de selección no importa. En palabras simples, la combinación implica la selección de eventos de un grupo más grande donde el orden no importa. Para calcular la probabilidad de una combinación, deberá considerar la cantidad de eventos favorables sobre la cantidad de eventos totales. Las combinaciones se utilizan para calcular eventos donde el orden de los eventos no importa. En este artículo, exploraremos la conexión entre estos dos temas esenciales.

Nota: Las fórmulas de este artículo asumen que no tenemos sustitución, lo que implica que los elementos no se pueden repetir.

Fórmula combinadaFórmula combinada

Combinaciones son un método para calcular el total de eventos de un evento donde el orden de los eventos no importa. Para calcular combinaciones, usaremos la fórmula de combinaciones.

nCr = n! / r! * (n – r) !,

donde n representa el número de elementos y r representa el número de elementos que se eligen a la vez.

Fórmula de combinaciones

Si observa la ecuación para calcular combinaciones, puede ver que se utilizan factoriales en toda la fórmula. Recuerde, la fórmula para calcular combinaciones es

nCr = n! / r! * (n – r) !,

donde n representa el número de elementos y r representa el número de elementos que se eligen a la vez.

Notaciones en combinaciones Fórmula

  • r es el tamaño de cada permutación
  • n es el tamaño del conjunto del que se permutan los elementos
  • n, r son números enteros no negativos
  • ! es el operador factorial

Factorial

Para calcular una combinación, necesitará encontrar un factorial. A factorial es la multiplicación de todos los números enteros positivos iguales y menores que su número. Un factorial se escribe como el número con un signo de exclamación.

Por ejemplo, para escribir el factorial de 4, escribiríamos 4 !. Para encontrar el factorial de 4, deberías multiplicar todos los enteros positivos iguales ay menores que 4. Entonces, ¡4! = 4 * 3 * 2 * 1. Al multiplicar estos números, podemos encontrar que 4! = 24.

Veamos otros ejemplos, para escribir el factorial de 6, escribiríamos 6 !. Para calcular 6 !, multiplicaríamos 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1, y eso es igual a 720.

Cómo calcular una combinación

Hay diez películas nuevas para alquilar esta semana en DVD. Rahul quiere seleccionar tres películas para ver este fin de semana. ¿Cuántas combinaciones de películas puede seleccionar?

En este problema, Rahul está eligiendo tres películas de los diez nuevos estrenos. 10 representaría la variable n y 3 representaría la variable r. Entonces, nuestra ecuación se vería así

10C3 = 10! / 3! * (10 – 3) !.

El primer paso que se debe hacer es restar 3 de 10 en la parte inferior de esta ecuación.

10 – 3 = 7,

entonces nuestra ecuación se convierte en 10! / 3! * 7 !.

A continuación, necesitamos expandir cada uno de nuestros factoriales.

10! equivaldría a 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 en la parte superior,

y 3! * 7! sería 3 * 2 * 1 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1.

La mejor forma de trabajar este ejemplo es cancelar términos semejantes. Podemos ver que hay un 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1 tanto en el numerador como en el denominador de nuestra ecuación. Estos números se pueden cancelar.

Ahora vemos que a nuestra ecuación le quedan 10 * 9 * 8 en la parte superior y 3 * 2 * 1 en el denominador. A partir de aquí, podemos simplemente multiplicar. 10 * 9 * 8 = 720 y 3 * 2 * 1 = 6. Entonces, nuestra ecuación ahora es 720/6.

Para terminar este ejemplo, dividiremos 720 entre 6 y obtenemos 120. Rahul ahora sabe que podría seleccionar 120 combinaciones diferentes de películas nuevas esta semana.

Probabilidad de combinaciones

Para averiguar la probabilidad de que ocurra un evento, usaremos la fórmula:

El número de eventos favorables / el número de eventos totales

Veamos un ejemplo de cómo averiguar la probabilidad de que aparezca un evento. En la caja de la tienda de DVD, Rahul también compró una bolsa de chicles. En la bolsa de chicles, había cinco chicles rojos, tres verdes, cuatro blancos y ocho amarillos. ¿Cuál es la probabilidad de que Rahul, dibujando al azar, seleccione un chicle amarillo?

Rahul sabe que si suma todos los chicles juntos, hay 20 chicles en la bolsa. Entonces, el número total de eventos es 20. Rahul también sabe que hay ocho bolas de chicle amarillas, lo que representaría el número de eventos favorables. Entonces, la probabilidad de seleccionar un chicle amarillo al azar de la bolsa es de 8 sobre 20.

Sin embargo, todas las fracciones deben simplificarse. Entonces, tanto 8 como 20 se dividirán por 4. Entonces, 8/20 se reduciría a 2/5. Rahul sabe que la probabilidad de que seleccione un chicle amarillo de la bolsa al azar es 2/5.

Para calcular el número total de eventos y eventos favorables, es posible que deba calcular una combinación. Recuerde, una combinación es un método para descubrir eventos en los que el orden de los eventos no importa.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo 1

Se selecciona un PIN de 4 dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya dígitos repetidos?

Hay 10 valores posibles para cada dígito del PIN (a saber: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), por lo que hay 10 × 10 × 10 × 10 = 10
10PAG4 = 10000 PIN posibles totales.

Para no tener dígitos repetidos, los cuatro dígitos tendrían que ser diferentes, lo que significa seleccionar sin reemplazo. Podríamos calcular 10 × 9 × 8 × 7 o notar que esto es lo mismo que la permutación
10PAG4 = 5040.

La probabilidad de que no haya dígitos repetidos es el número de PIN de 4 dígitos sin dígitos repetidos dividido por el número total de PIN de 4 dígitos. Esta probabilidad es

10PAG4 / (10 × 10 × 10 × 10) = 504010000 = 0.50410P4104 = 504010000 = 0.504

Ejemplo 2

En la lotería de un determinado estado, se colocan 48 bolas numeradas del 1 al 48 en una máquina y seis de ellas se extraen al azar. Si los seis números coinciden con los números que un jugador había elegido, el jugador gana $ 1,000,000. En esta lotería, no importa el orden en que se extraigan los números. Calcule la probabilidad de que gane el premio de un millón de dólares si compra un solo boleto de lotería.

Para calcular la probabilidad, necesitamos contar la cantidad total de formas en que se pueden sacar seis números y la cantidad de formas en que los seis números en el boleto del jugador podrían coincidir con los seis números extraídos de la máquina. Dado que no se estipula que los números estén en ningún orden en particular, el número de posibles resultados del sorteo de lotería es
48C6 = 12.271.512. De estos posibles resultados, solo uno coincidiría con los seis números del boleto del jugador, por lo que la probabilidad de ganar el gran premio es:

6C648C6 = 112271512≈ = 0.0000000815

Calculadora de fórmulas de combinaciones

La Calculadora de combinaciones encontrará el número de combinaciones posibles que se pueden obtener tomando una muestra de eventos de un conjunto más grande. Básicamente, muestra cuántos subgrupos posibles diferentes se pueden formar a partir del conjunto más grande. Para esta calculadora, el orden de los elementos elegidos en el subconjunto no importa.

Calculadora de combinacionesCalculadora de combinaciones

Preguntas frecuentes

¿Qué es un ejemplo de combinación? Una combinación es una selección de todo o parte de un conjunto de objetos, sin importar el orden en el que se seleccionan los objetos. Por ejemplo, suponga que tenemos un conjunto de tres letras: A, B y C. Cada posible selección sería un ejemplo de una combinación. ¿Cuántas combinaciones de 5 elementos hay? Por lo tanto, hay 2 opciones para el cuarto dígito y solo 1 opción para el quinto dígito. Por lo tanto, ha elegido 5 × 4 × 3 × 2 1 = 120 y hay 120 números posibles de 5 dígitos a partir de 1, 2, 3, 4 y 5 si no permite que se repita ningún dígito. Ahora considere las posibilidades con 13 como los dos primeros dígitos. ¿Cuántas combinaciones de 4 elementos hay? Multiplica estas opciones para obtener el resultado: 4 X 3 X 2 X 1 = 24. ¿Cuántas combinaciones de 10 dígitos hay? Si se permite la repetición, entonces el número de permutaciones de 10 dígitos es 10,000,000,000. ¿Cómo se calcula el número de combinaciones posibles? Revise la fórmula para combinaciones. ¡La fórmula para combinaciones es generalmente N! / (R! (N – R)!), Donde N es el número total de posibilidades para comenzar y R es el número de selecciones realizadas. En nuestro ejemplo, tenemos 52 tarjetas; Por lo tanto, N = 52. ¿Cuáles son todas las combinaciones posibles de 1234? Si apuesta por 1234 en caja, ganaría si saliera alguna de las siguientes combinaciones: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241 , 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312 o 4321.

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