F贸rmula combinada: definici贸n, usos en probabilidad, ejemplos y m谩s

<strong>La f贸rmula de combinaci贸n se utiliza para calcular el n煤mero de formas de seleccionar eventos de una colecci贸n de eventos, de modo que el orden de selecci贸n no importa. En palabras simples, la combinaci贸n implica la selecci贸n de eventos de un grupo m谩s grande donde el orden no importa. Para calcular la probabilidad de una combinaci贸n, deber谩 considerar la cantidad de eventos favorables sobre la cantidad de eventos totales. Las combinaciones se utilizan para calcular eventos donde el orden de los eventos no importa. En este art铆culo, exploraremos la conexi贸n entre estos dos temas esenciales.

Nota: Las f贸rmulas de este art铆culo asumen que no tenemos sustituci贸n, lo que implica que los elementos no se pueden repetir.

F脫RMULA COMBINADA

F贸rmula combinada

Combinaciones son un m茅todo para calcular el total de eventos de un evento donde el orden de los eventos no importa. Para calcular combinaciones, usaremos la f贸rmula de combinaciones.

nCr = n! / r! * (n – r) !,

donde n representa el n煤mero de elementos y r representa el n煤mero de elementos que se eligen a la vez.

F贸rmula de combinaciones

Si observa la ecuaci贸n para calcular combinaciones, puede ver que se utilizan factoriales en toda la f贸rmula. Recuerde, la f贸rmula para calcular combinaciones es

nCr = n! / r! * (n – r) !,

donde n representa el n煤mero de elementos y r representa el n煤mero de elementos que se eligen a la vez.

Notaciones en combinaciones F贸rmula

  • r es el tama帽o de cada permutaci贸n
  • n es el tama帽o del conjunto del que se permutan los elementos
  • n, r son n煤meros enteros no negativos
  • ! es el operador factorial

Índice de contenidos

Factorial

Para calcular una combinaci贸n, necesitar谩 encontrar un factorial. A factorial es la multiplicaci贸n de todos los n煤meros enteros positivos iguales y menores que su n煤mero. Un factorial se escribe como el n煤mero con un signo de exclamaci贸n.

Por ejemplo, para escribir el factorial de 4, escribir铆amos 4 !. Para encontrar el factorial de 4, deber铆as multiplicar todos los enteros positivos iguales ay menores que 4. Entonces, 隆4! = 4 * 3 * 2 * 1. Al multiplicar estos n煤meros, podemos encontrar que 4! = 24.

Veamos otros ejemplos, para escribir el factorial de 6, escribir铆amos 6 !. Para calcular 6 !, multiplicar铆amos 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1, y eso es igual a 720.

C贸mo calcular una combinaci贸n

Hay diez pel铆culas nuevas para alquilar esta semana en DVD. Rahul quiere seleccionar tres pel铆culas para ver este fin de semana. 驴Cu谩ntas combinaciones de pel铆culas puede seleccionar?

En este problema, Rahul est谩 eligiendo tres pel铆culas de los diez nuevos estrenos. 10 representar铆a la variable n y 3 representar铆a la variable r. Entonces, nuestra ecuaci贸n se ver铆a as铆

10C3 = 10! / 3! * (10 – 3) !.

El primer paso que se debe hacer es restar 3 de 10 en la parte inferior de esta ecuaci贸n.

10 – 3 = 7,

entonces nuestra ecuaci贸n se convierte en 10! / 3! * 7 !.

A continuaci贸n, necesitamos expandir cada uno de nuestros factoriales.

10! equivaldr铆a a 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 en la parte superior,

y 3! * 7! ser铆a 3 * 2 * 1 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1.

La mejor forma de trabajar este ejemplo es cancelar t茅rminos semejantes. Podemos ver que hay un 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1 tanto en el numerador como en el denominador de nuestra ecuaci贸n. Estos n煤meros se pueden cancelar.

Ahora vemos que a nuestra ecuaci贸n le quedan 10 * 9 * 8 en la parte superior y 3 * 2 * 1 en el denominador. A partir de aqu铆, podemos simplemente multiplicar. 10 * 9 * 8 = 720 y 3 * 2 * 1 = 6. Entonces, nuestra ecuaci贸n ahora es 720/6.

Para terminar este ejemplo, dividiremos 720 entre 6 y obtenemos 120. Rahul ahora sabe que podr铆a seleccionar 120 combinaciones diferentes de pel铆culas nuevas esta semana.

Probabilidad de combinaciones

Para averiguar la probabilidad de que ocurra un evento, usaremos la f贸rmula:

El n煤mero de eventos favorables / el n煤mero de eventos totales

Veamos un ejemplo de c贸mo averiguar la probabilidad de que aparezca un evento. En la caja de la tienda de DVD, Rahul tambi茅n compr贸 una bolsa de chicles. En la bolsa de chicles, hab铆a cinco chicles rojos, tres verdes, cuatro blancos y ocho amarillos. 驴Cu谩l es la probabilidad de que Rahul, dibujando al azar, seleccione un chicle amarillo?

Rahul sabe que si suma todos los chicles juntos, hay 20 chicles en la bolsa. Entonces, el n煤mero total de eventos es 20. Rahul tambi茅n sabe que hay ocho bolas de chicle amarillas, lo que representar铆a el n煤mero de eventos favorables. Entonces, la probabilidad de seleccionar un chicle amarillo al azar de la bolsa es de 8 sobre 20.

Sin embargo, todas las fracciones deben simplificarse. Entonces, tanto 8 como 20 se dividir谩n por 4. Entonces, 8/20 se reducir铆a a 2/5. Rahul sabe que la probabilidad de que seleccione un chicle amarillo de la bolsa al azar es 2/5.

Para calcular el n煤mero total de eventos y eventos favorables, es posible que deba calcular una combinaci贸n. Recuerde, una combinaci贸n es un m茅todo para descubrir eventos en los que el orden de los eventos no importa.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo 1

Se selecciona un PIN de 4 d铆gitos. 驴Cu谩l es la probabilidad de que no haya d铆gitos repetidos?

Hay 10 valores posibles para cada d铆gito del PIN (a saber: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), por lo que hay 10 脳 10 脳 10 脳 10 = 10
10PAG4 = 10000 PIN posibles totales.

Para no tener d铆gitos repetidos, los cuatro d铆gitos tendr铆an que ser diferentes, lo que significa seleccionar sin reemplazo. Podr铆amos calcular 10 脳 9 脳 8 脳 7 o notar que esto es lo mismo que la permutaci贸n
10PAG4 = 5040.

La probabilidad de que no haya d铆gitos repetidos es el n煤mero de PIN de 4 d铆gitos sin d铆gitos repetidos dividido por el n煤mero total de PIN de 4 d铆gitos. Esta probabilidad es

10PAG4 / (10 脳 10 脳 10 脳 10) = 504010000 = 0.50410P4104 = 504010000 = 0.504

Ejemplo 2

En la loter铆a de un determinado estado, se colocan 48 bolas numeradas del 1 al 48 en una m谩quina y seis de ellas se extraen al azar. Si los seis n煤meros coinciden con los n煤meros que un jugador hab铆a elegido, el jugador gana $ 1,000,000. En esta loter铆a, no importa el orden en que se extraigan los n煤meros. Calcule la probabilidad de que gane el premio de un mill贸n de d贸lares si compra un solo boleto de loter铆a.

Para calcular la probabilidad, necesitamos contar la cantidad total de formas en que se pueden sacar seis n煤meros y la cantidad de formas en que los seis n煤meros en el boleto del jugador podr铆an coincidir con los seis n煤meros extra铆dos de la m谩quina. Dado que no se estipula que los n煤meros est茅n en ning煤n orden en particular, el n煤mero de posibles resultados del sorteo de loter铆a es
48C6 = 12.271.512. De estos posibles resultados, solo uno coincidir铆a con los seis n煤meros del boleto del jugador, por lo que la probabilidad de ganar el gran premio es:

6C648C6 = 112271512鈮 = 0.0000000815

Calculadora de f贸rmulas de combinaciones

La Calculadora de combinaciones encontrar谩 el n煤mero de combinaciones posibles que se pueden obtener tomando una muestra de eventos de un conjunto m谩s grande. B谩sicamente, muestra cu谩ntos subgrupos posibles diferentes se pueden formar a partir del conjunto m谩s grande. Para esta calculadora, el orden de los elementos elegidos en el subconjunto no importa.

Calculadora de combinacionesCalculadora de combinaciones

Preguntas frecuentes

驴Qu茅 es un ejemplo de combinaci贸n? Una combinaci贸n es una selecci贸n de todo o parte de un conjunto de objetos, sin importar el orden en el que se seleccionan los objetos. Por ejemplo, suponga que tenemos un conjunto de tres letras: A, B y C. Cada posible selecci贸n ser铆a un ejemplo de una combinaci贸n. 驴Cu谩ntas combinaciones de 5 elementos hay? Por lo tanto, hay 2 opciones para el cuarto d铆gito y solo 1 opci贸n para el quinto d铆gito. Por lo tanto, ha elegido 5 脳 4 脳 3 脳 2 1 = 120 y hay 120 n煤meros posibles de 5 d铆gitos a partir de 1, 2, 3, 4 y 5 si no permite que se repita ning煤n d铆gito. Ahora considere las posibilidades con 13 como los dos primeros d铆gitos. 驴Cu谩ntas combinaciones de 4 elementos hay? Multiplica estas opciones para obtener el resultado: 4 X 3 X 2 X 1 = 24. 驴Cu谩ntas combinaciones de 10 d铆gitos hay? Si se permite la repetici贸n, entonces el n煤mero de permutaciones de 10 d铆gitos es 10,000,000,000. 驴C贸mo se calcula el n煤mero de combinaciones posibles? Revise la f贸rmula para combinaciones. 隆La f贸rmula para combinaciones es generalmente N! / (R! (N – R)!), Donde N es el n煤mero total de posibilidades para comenzar y R es el n煤mero de selecciones realizadas. En nuestro ejemplo, tenemos 52 tarjetas; Por lo tanto, N = 52. 驴Cu谩les son todas las combinaciones posibles de 1234? Si apuesta por 1234 en caja, ganar铆a si saliera alguna de las siguientes combinaciones: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241 , 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312 o 4321.

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