F贸rmula de interpolaci贸n lineal, definici贸n, ejemplos y m谩s

<p>F贸rmula de interpolaci贸n lineal es el proceso de encontrar un valor entre dos puntos en una l铆nea o curva. Para ayudarnos a recordar lo que significa, debemos pensar en la primera parte de la palabra, “inter”, como si significara “ingresar”, lo que nos recuerda que debemos mirar “dentro” de los datos que ten铆amos originalmente. Esta herramienta, la interpolaci贸n, no solo es 煤til en estad铆sticas, sino que tambi茅n es 煤til en ciencia, negocios o en cualquier momento en que sea necesario predecir valores que se encuentren dentro de dos puntos de datos existentes.

El m茅todo de encontrar nuevos valores para cualquier funci贸n usando el conjunto de valores se realiza por interpolaci贸n. El valor desconocido en un punto se encuentra usando esta f贸rmula. Si se trata de una f贸rmula de interpolaci贸n lineal, debe usarse para encontrar el nuevo valor a partir de los dos puntos dados. Si se compara con la f贸rmula de interpolaci贸n de Lagrange, el conjunto “n” de n煤meros deber铆a estar disponible y el m茅todo de Lagrange se utilizar谩 para encontrar el nuevo valor.

Índice de contenidos

F贸rmula de interpolaci贸n / F贸rmula de interpolaci贸n lineal

La interpolaci贸n es un m茅todo para estimar el valor de una funci贸n entre dos valores conocidos. A menudo, alguna relaci贸n se mide experimentalmente o se rastrea con Dagra en un rango de valores. La interpolaci贸n se puede utilizar para estimar la funci贸n para puntos no tabulados.

f贸rmula de interpolaci贸nf贸rmula de interpolaci贸n

Por ejemplo, suponga que tenemos datos tabulados para la resistencia t茅rmica de un transistor tabulados para la velocidad del aire de 0 a 1800 FPM en pasos de 200 FPM. La interpolaci贸n se puede utilizar para estimar la resistencia t茅rmica en valores no tabulados como 485 FPM.

ejemplo de interpolaci贸nejemplo de interpolaci贸n

Lo siguiente es F贸rmula de interpolaci贸n lineal

F贸rmula de interpolaci贸n linealF贸rmula de interpolaci贸n lineal

Ejemplo: Usando la f贸rmula de interpolaci贸n, encuentre el valor de y en x = 8 dado alg煤n conjunto de valores (2, 6), (5, 9).
Soluci贸n: Los valores conocidos son, x0 = 8, x1 = 2, x2 = 5, y1 = 6, y2 = 9

y = y1 + (x 鈭 x1) / (x2 鈭 x1) 脳 (y2 鈭 y1)

y = 6 + ((8鈭2) (5鈭2) 脳 (9鈭6)

y = 6 + 6 y = 12

F贸rmula de interpolaci贸n Excel

La interpolaci贸n estima puntos de datos dentro de un conjunto de datos existente. Como ejemplo simple, si tomara 15 minutos caminar 1 milla el lunes y 1 hora caminar 4 millas el martes, podr铆amos estimar razonablemente que tomar铆a 30 minutos caminar 2 millas. Esto no debe confundirse con la extrapolaci贸n, que estima valores fuera del conjunto de datos. Calcular que se necesitar铆an 2 horas para caminar 8 millas ser铆a una extrapolaci贸n, ya que la estimaci贸n est谩 fuera de los valores conocidos.

La siguiente f贸rmula de Microsoft Excel realiza una interpolaci贸n lineal calculando el valor del paso de interpolaci贸n:

= (fin-inicio) / (FILA (fin) -ROW (inicio))

Excel es una gran herramienta para este tipo de an谩lisis, ya que en 煤ltima instancia es solo una gran calculadora visual.

En t茅rminos de responder a la pregunta de mi lector, hay una serie de escenarios que conducir铆an a diferentes soluciones. Al principio, pens茅 que pod铆a usar simplemente matem谩ticas. Esto funcionar铆a si los resultados fueran perfectamente lineales (es decir, los valores se mueven perfectamente sincronizados entre s铆). Pero, 驴y si no est谩n perfectamente correlacionados?

Luego pens茅 en la funci贸n PRON脫STICO de Excel. Seg煤n su nombre, la funci贸n PRON脫STICO parece una elecci贸n extra帽a. Parece ser una funci贸n espec铆ficamente para extrapolaci贸n, sin embargo, es una de las mejores opciones para la interpolaci贸n lineal en Excel. PRONOSTICO usa todos los valores en el conjunto de datos para estimar el resultado, por lo tanto, es excelente para relaciones lineales, incluso si no est谩n perfectamente correlacionadas.

Entonces otro pensamiento, 驴qu茅 pasa si la relaci贸n X e Y no es lineal en absoluto? 驴C贸mo podr铆amos interpolar un valor cuando los datos son exponenciales?

Interpolaci贸n usando matem谩ticas simples

El uso de matem谩ticas simples funciona bien cuando hay solo dos pares de n煤meros o cuando la relaci贸n entre X e Y es perfectamente lineal. Aqu铆 hay un ejemplo b谩sico

Ejemplo de Excel de f贸rmula de interpolaci贸nEjemplo de Excel de f贸rmula de interpolaci贸n La f贸rmula en la celda E3 es:
= B2 + (E2-A2) * (B3-B2) / (A3-A2)

Eso puede parecer un poco complicado para algunos, as铆 que solo dar茅 una descripci贸n general r谩pida de esta f贸rmula.

= B2 + (E2-A2) * (B3-B2) / (A3-A2)

La 煤ltima secci贸n (resaltada en rojo arriba) calcula cu谩nto se mueve el valor de Y cada vez que el valor de X se mueve en 1. En nuestro ejemplo, Y se mueve en 1.67 por cada 1 de X.

= B2 + (E2-A2) * (B3-B2) / (A3-A2)

La segunda secci贸n (en rojo arriba) calcula qu茅 tan lejos est谩 nuestra X interpolada de la primera X, luego la multiplica por el valor calculado anteriormente. Seg煤n nuestro ejemplo, es 17,5 (celda E2) menos 10 (celda A2), cuyo resultado se multiplica por 1,67 (lo que equivale a 12,5).

= B2 + (E2-A2) * (B3-B2) / (A3-A2)

Finalmente, la primera secci贸n de la f贸rmula (en rojo arriba); sumamos el primer valor de Y. En nuestro ejemplo, esto proporciona el resultado final de 77,5 (65 + 12,5).

F贸rmula de interpolaci贸n de Lagrange

Esta es nuevamente una f贸rmula de aproximaci贸n polinomial de en茅simo grado a la funci贸n f (x), que se conoce en los puntos discretos xi, i = 0, 1, 2. . . Nth. La f贸rmula se puede derivar del determinante de Vandermonds, pero una forma mucho m谩s simple de derivar esto es a partir de la f贸rmula de diferencia dividida de Newton. Si f (x) se aproxima con un polinomio de en茅simo grado, entonces la en茅sima diferencia dividida de la constante f (x) y la diferencia dividida de (N + 1) es cero. Es decir

F [x0, x1, . . . xn, x] = 0

A partir de la segunda propiedad de la diferencia dividida podemos escribir

F贸rmula de interpolaci贸n de LagrangeF贸rmula de interpolaci贸n de Lagrange

Dado que la interpolaci贸n de Lagrange es tambi茅n una norteAproximaci贸n polinomial de th grado a f (x) y el nortepolinomio de grado que pasa por (N + 1) puntos es 煤nico, por lo tanto, las aproximaciones en diferencias divididas de Lagrange y Newton son una y la misma. Sin embargo, la f贸rmula de Lagrange es m谩s conveniente de usar en programaci贸n de computadoras y la f贸rmula de diferencia dividida de Newton es m谩s adecuada para c谩lculos manuales.

驴Qu茅 es la f贸rmula de interpolaci贸n?

La f贸rmula de interpolaci贸n se puede utilizar para encontrar el valor faltante. Sin embargo, al trazar una l铆nea recta a trav茅s de dos puntos de una curva, se puede aproximar el valor en otros puntos de la curva. En la f贸rmula de interpolaci贸n, x-sub1 e y-sub1 representan el primer conjunto de puntos de datos de los valores observados.

驴Qu茅 es el m茅todo de interpolaci贸n de Newton?

Interpolaci贸n hacia adelante y hacia atr谩s de Newton. La interpolaci贸n es la t茅cnica de estimar el valor de una funci贸n para cualquier valor intermedio de la variable independiente, mientras que el proceso de calcular el valor de la funci贸n fuera del rango dado se llama extrapolaci贸n.

驴Qu茅 son las matem谩ticas de interpolaci贸n polinomial?

La interpolaci贸n polin贸mica es un m茅todo para estimar valores entre puntos de datos conocidos. El principal problema con la interpolaci贸n polinomial surge del hecho de que incluso cuando una determinada funci贸n polinomial pasa por todos los puntos de datos conocidos, es posible que el gr谩fico resultante no refleje el estado real de las cosas.

驴Qu茅 es un ejemplo de interpolaci贸n?

En este ejemplo, una l铆nea recta pasa por dos puntos de valor conocido. La interpolaci贸n espacial calcula un valor desconocido a partir de un conjunto de puntos de muestra con valores conocidos que se distribuyen en un 谩rea. La distancia desde la celda con valor desconocido hasta las celdas de muestra contribuye a su estimaci贸n de valor final.

驴Qu茅 es la f贸rmula de interpolaci贸n lineal?

La interpolaci贸n lineal implica estimar un nuevo valor conectando dos valores conocidos adyacentes con una l铆nea recta. Si los dos valores conocidos son (x1, y1) y (x2, y2), entonces el valor de y para alg煤n punto x es: La interpolaci贸n lineal es un ajuste en l铆nea recta entre dos puntos de datos.

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