F贸rmula de interpolaci贸n lineal

<p style=”text-align: justify;”>F贸rmula de interpolaci贸n: El m茅todo de encontrar nuevos valores para cualquier funci贸n usando el conjunto de valores se realiza por interpolaci贸n. El valor desconocido en un punto se encuentra usando esta f贸rmula. Si se trata de la f贸rmula de interpolaci贸n lineal, debe usarse para encontrar el nuevo valor de los dos puntos dados. Si se compara con la f贸rmula de interpolaci贸n de Lagrange, el conjunto “n” de n煤meros deber铆a estar disponible y el m茅todo de Lagrange se utilizar谩 para encontrar el nuevo valor.

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La interpolaci贸n es el proceso de encontrar un valor entre dos puntos en una l铆nea o curva. Para ayudarnos a recordar lo que significa, debemos pensar en la primera parte de la palabra, “inter”, como si significara “ingresar”, lo que nos recuerda que debemos mirar “dentro” de los datos que ten铆amos originalmente. Esta herramienta, la interpolaci贸n, no solo es 煤til en estad铆sticas, sino que tambi茅n es 煤til en ciencia, negocios o en cualquier momento en que sea necesario predecir valores que se encuentren dentro de dos puntos de datos existentes.

F贸rmula de interpolaci贸n lineal

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F贸rmula de interpolaci贸n lineal

Si los dos puntos conocidos vienen dados por las coordenadas { displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} y { displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}, los interpolante lineal es la l铆nea recta entre estos puntos. Por un valor X en el intervalo { displaystyle (x_ {0}, x_ {1})}, el valor y a lo largo de la l铆nea recta se obtiene a partir de la ecuaci贸n de pendientes

{ Displaystyle { frac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}}} = { frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} ,}

que se puede derivar geom茅tricamente de la figura de la derecha. Es un caso especial de interpolaci贸n polinomial con norte = 1.

Resolviendo esta ecuaci贸n para y, que es el valor desconocido en X, da

{ Displaystyle y = y_ {0} + (x-x_ {0}) { frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} = { frac {y_ {0} (x_ {1} -x) + y_ {1} (x-x_ {0})} {x_ {1} -x_ {0}}},}

que es la f贸rmula para la interpolaci贸n lineal en el intervalo { displaystyle (x_ {0}, x_ {1})}. Fuera de este intervalo, la f贸rmula es id茅ntica a la extrapolaci贸n lineal.

Esta f贸rmula tambi茅n se puede entender como un promedio ponderado. Los pesos est谩n inversamente relacionados con la distancia desde los puntos finales hasta el punto desconocido; el punto m谩s cercano tiene m谩s influencia que el punto m谩s lejano. Por lo tanto, los pesos son { textstyle { frac {x-x_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}} y { textstyle { frac {x_ {1} -x} {x_ {1} -x_ {0}}}}, que son distancias normalizadas entre el punto desconocido y cada uno de los puntos finales. Porque estos suman 1,

{ Displaystyle y = y_ {0} left (1 – { frac {x-x_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} right) + y_ {1} left (1- { frac {x_ {1} -x} {x_ {1} -x_ {0}}} right) = y_ {0} left (1 – { frac {x-x_ {0}} {x_ { 1} -x_ {0}}} right) + y_ {1} left ({ frac {x-x_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} right),}

Calculadora de f贸rmulas de interpolaci贸n

Ejemplos resueltos

Pregunta 1: Usando la f贸rmula de interpolaci贸n, encuentre el valor de y en x = 8 dado alg煤n conjunto de valores (2, 6), (5, 9).
Soluci贸n:

Los valores conocidos son, x0 = 8, x1 = 2, x2 = 5, y1 = 6, y2 = 9y = y1 + (x 鈭 x1) (x2 鈭 x1) 脳 (y2 鈭 y1)

y = 6 + ((8鈭2) (5鈭2) 脳 (9鈭6)

y = 6 + 6

y = 12

驴Qu茅 es el m茅todo de interpolaci贸n lineal?

Interpolaci贸n linear es el mas simple m茅todo de obtener valores en posiciones entre los puntos de datos. Los puntos simplemente se unen mediante segmentos de l铆nea recta.

驴C贸mo encuentras la interpolaci贸n entre dos n煤meros?

Saber el f贸rmula para el lineal interpolaci贸n proceso. los f贸rmula es y = y1 + ((x – x1) / (x2 – x1)) * (y2 – y1), donde x es el valor conocido, y es el valor desconocido, x1 e y1 son las coordenadas que est谩n por debajo de la x conocida value, y x2 e y2 son las coordenadas que est谩n por encima del valor x.

驴Qu茅 es el m茅todo de interpolaci贸n?

En el campo matem谩tico del an谩lisis num茅rico, interpolaci贸n es un m茅todo de construir nuevos puntos de datos dentro del rango de un conjunto discreto de puntos de datos conocidos. … Algunos puntos de datos de la funci贸n original se pueden interpolado para producir una funci贸n m谩s simple que a煤n se parezca bastante a la original.

F贸rmula de interpolaci贸n Excel

F贸rmula de interpolaci贸n Excel

Aqu铆 hay un ejemplo que ilustrar谩 el concepto de interpolaci贸n. Un jardinero plant贸 una planta de tomate y midi贸 y sigui贸 su crecimiento cada dos d铆as. Esta jardinera es una persona curiosa y le gustar铆a estimar la altura de su planta el cuarto d铆a.

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Su tabla de observaciones se ve铆a as铆:

tabla de datos de interpolaci贸n

Seg煤n el gr谩fico, no es demasiado dif铆cil darse cuenta de que la planta probablemente ten铆a 6 mm de altura el cuarto d铆a. Esto se debe a que esta planta de tomate disciplinada creci贸 en un patr贸n lineal; hubo una relaci贸n lineal entre el n煤mero de d铆as medidos y el crecimiento en altura de la planta. El patr贸n lineal significa que los puntos crearon una l铆nea recta. Incluso podr铆amos estimar trazando los datos en un gr谩fico.

gr谩fico de interpolaci贸n 1a

Pero, 驴qu茅 pasa si la planta no crece con un patr贸n lineal conveniente? 驴Y si su crecimiento se pareciera m谩s a esto?

curva de interpolaci贸n 1

驴Qu茅 har铆a el jardinero para hacer una estimaci贸n basada en la curva anterior? Bueno, ah铆 es donde la f贸rmula de interpolaci贸n ser铆a 煤til.

F贸rmula de interpolaci贸n Thermo

La interpolaci贸n lineal se ha utilizado desde la antig眉edad para llenar los huecos en las tablas. Suponga que se tiene una tabla que enumera la poblaci贸n de alg煤n pa铆s en 1970, 1980, 1990 y 2000, y que se desea estimar la poblaci贸n en 1994. La interpolaci贸n lineal es una manera f谩cil de hacer esto. Se cre铆a que la t茅cnica de utilizar la interpolaci贸n lineal para la tabulaci贸n fue utilizada por los astr贸nomos y matem谩ticos babil贸nicos en la Mesopotamia sel茅ucida (煤ltimos tres siglos a. C.), y por el astr贸nomo y matem谩tico griego Hiparco (siglo II a. C.). Se puede encontrar una descripci贸n de la interpolaci贸n lineal en el Almagesto (Siglo II d.C.) por Ptolomeo.

La operaci贸n b谩sica de interpolaci贸n lineal entre dos valores se usa com煤nmente en gr谩ficos por computadora. En la jerga de ese campo, a veces se le llama lerp. El t茅rmino se puede utilizar como verbo o sustantivo para la operaci贸n. por ejemplo, “el algoritmo de Bresenham se desplaza de forma incremental entre los dos puntos finales de la l铆nea”.

Las operaciones de Lerp est谩n integradas en el hardware de todos los procesadores de gr谩ficos por computadora modernos. A menudo se utilizan como bloques de construcci贸n para operaciones m谩s complejas: por ejemplo, la interpolaci贸n bilineal se puede lograr en tres lerps. Porque esto operaci贸n es barato, tambi茅n es una buena manera de implementar tablas de b煤squeda precisas con una b煤squeda r谩pida para funciones fluidas sin tener demasiadas entradas en la tabla.

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F贸rmula para la interpolaci贸n

Digamos que tenemos dos puntos conocidos x1, y1x1, y1 y x2, y2x2, y2.

Ahora queremos estimar qu茅 valor yy obtendr铆amos para alg煤n valor xx que est茅 entre x1x1 y x2x2. Llame a esta estimaci贸n del valor yy: una interpolado valor.

Me vienen a la mente dos m茅todos sencillos para elegir yy. La primera es ver si xx est谩 m谩s cerca de x1x1 o de x2x2. Si xx est谩 m谩s cerca de x1x1, usamos y1y1 como estimaci贸n; de lo contrario, usamos y2y2. Se llama Vecino m谩s cercano interpolaci贸n.

El segundo es trazar una l铆nea recta entre x1, y1x1, y1 y x2, y2x2, y2. Buscamos ver el valor de yy en la l铆nea de nuestro xx elegido. Este es una interpolaci贸n lineal.

Es posible mostrar que la f贸rmula de la l铆nea entre x1, y1x1, y1 y x2, y2x2, y2 es:

y = y1 + (x 鈭 x1) y2 鈭 y1x2 鈭 x1y = y1 + (x 鈭 x1) y2 鈭 y1x2 鈭 x1

F贸rmula de doble interpolaci贸n

Para realizar una interpolaci贸n lineal en Excel, usaremos la siguiente ecuaci贸n, donde x es la variable independiente e y es el valor que queremos buscar:

f贸rmula de interpolaci贸n lineal

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