Fórmula de interpolación lineal

Fórmula de interpolación lineal

Fórmula de interpolación: El método de encontrar nuevos valores para cualquier función usando el conjunto de valores se realiza por interpolación. El valor desconocido en un punto se encuentra usando esta fórmula. Si se trata de la fórmula de interpolación lineal, debe usarse para encontrar el nuevo valor de los dos puntos dados. Si se compara con la fórmula de interpolación de Lagrange, el conjunto “n” de números debería estar disponible y el método de Lagrange se utilizará para encontrar el nuevo valor.

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La interpolación es el proceso de encontrar un valor entre dos puntos en una línea o curva. Para ayudarnos a recordar lo que significa, debemos pensar en la primera parte de la palabra, “inter”, como si significara “ingresar”, lo que nos recuerda que debemos mirar “dentro” de los datos que teníamos originalmente. Esta herramienta, la interpolación, no solo es útil en estadísticas, sino que también es útil en ciencia, negocios o en cualquier momento en que sea necesario predecir valores que se encuentren dentro de dos puntos de datos existentes.

Fórmula de interpolación lineal

Fórmula de interpolación lineal

Si los dos puntos conocidos vienen dados por las coordenadas { displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} y { displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}, los interpolante lineal es la línea recta entre estos puntos. Por un valor X en el intervalo { displaystyle (x_ {0}, x_ {1})}, el valor y a lo largo de la línea recta se obtiene a partir de la ecuación de pendientes

{ Displaystyle { frac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}}} = { frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} ,}

que se puede derivar geométricamente de la figura de la derecha. Es un caso especial de interpolación polinomial con norte = 1.

Resolviendo esta ecuación para y, que es el valor desconocido en X, da

{ Displaystyle y = y_ {0} + (x-x_ {0}) { frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} = { frac {y_ {0} (x_ {1} -x) + y_ {1} (x-x_ {0})} {x_ {1} -x_ {0}}},}

que es la fórmula para la interpolación lineal en el intervalo { displaystyle (x_ {0}, x_ {1})}. Fuera de este intervalo, la fórmula es idéntica a la extrapolación lineal.

Esta fórmula también se puede entender como un promedio ponderado. Los pesos están inversamente relacionados con la distancia desde los puntos finales hasta el punto desconocido; el punto más cercano tiene más influencia que el punto más lejano. Por lo tanto, los pesos son { textstyle { frac {x-x_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}} y { textstyle { frac {x_ {1} -x} {x_ {1} -x_ {0}}}}, que son distancias normalizadas entre el punto desconocido y cada uno de los puntos finales. Porque estos suman 1,

{ Displaystyle y = y_ {0} left (1 – { frac {x-x_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} right) + y_ {1} left (1- { frac {x_ {1} -x} {x_ {1} -x_ {0}}} right) = y_ {0} left (1 – { frac {x-x_ {0}} {x_ { 1} -x_ {0}}} right) + y_ {1} left ({ frac {x-x_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} right),}

Calculadora de fórmulas de interpolación

Ejemplos resueltos

Pregunta 1: Usando la fórmula de interpolación, encuentre el valor de y en x = 8 dado algún conjunto de valores (2, 6), (5, 9).
Solución:

Los valores conocidos son, x0 = 8, x1 = 2, x2 = 5, y1 = 6, y2 = 9y = y1 + (x − x1) (x2 − x1) × (y2 − y1)

y = 6 + ((8−2) (5−2) × (9−6)

y = 6 + 6

y = 12

¿Qué es el método de interpolación lineal?

Interpolación linear es el mas simple método de obtener valores en posiciones entre los puntos de datos. Los puntos simplemente se unen mediante segmentos de línea recta.

¿Cómo encuentras la interpolación entre dos números?

Saber el fórmula para el lineal interpolación proceso. los fórmula es y = y1 + ((x – x1) / (x2 – x1)) * (y2 – y1), donde x es el valor conocido, y es el valor desconocido, x1 e y1 son las coordenadas que están por debajo de la x conocida value, y x2 e y2 son las coordenadas que están por encima del valor x.

¿Qué es el método de interpolación?

En el campo matemático del análisis numérico, interpolación es un método de construir nuevos puntos de datos dentro del rango de un conjunto discreto de puntos de datos conocidos. … Algunos puntos de datos de la función original se pueden interpolado para producir una función más simple que aún se parezca bastante a la original.

Fórmula de interpolación Excel

Fórmula de interpolación Excel

Aquí hay un ejemplo que ilustrará el concepto de interpolación. Un jardinero plantó una planta de tomate y midió y siguió su crecimiento cada dos días. Esta jardinera es una persona curiosa y le gustaría estimar la altura de su planta el cuarto día.

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Su tabla de observaciones se veía así:

tabla de datos de interpolación

Según el gráfico, no es demasiado difícil darse cuenta de que la planta probablemente tenía 6 mm de altura el cuarto día. Esto se debe a que esta planta de tomate disciplinada creció en un patrón lineal; hubo una relación lineal entre el número de días medidos y el crecimiento en altura de la planta. El patrón lineal significa que los puntos crearon una línea recta. Incluso podríamos estimar trazando los datos en un gráfico.

gráfico de interpolación 1a

Pero, ¿qué pasa si la planta no crece con un patrón lineal conveniente? ¿Y si su crecimiento se pareciera más a esto?

curva de interpolación 1

¿Qué haría el jardinero para hacer una estimación basada en la curva anterior? Bueno, ahí es donde la fórmula de interpolación sería útil.

Fórmula de interpolación Thermo

La interpolación lineal se ha utilizado desde la antigüedad para llenar los huecos en las tablas. Suponga que se tiene una tabla que enumera la población de algún país en 1970, 1980, 1990 y 2000, y que se desea estimar la población en 1994. La interpolación lineal es una manera fácil de hacer esto. Se creía que la técnica de utilizar la interpolación lineal para la tabulación fue utilizada por los astrónomos y matemáticos babilónicos en la Mesopotamia seléucida (últimos tres siglos a. C.), y por el astrónomo y matemático griego Hiparco (siglo II a. C.). Se puede encontrar una descripción de la interpolación lineal en el Almagesto (Siglo II d.C.) por Ptolomeo.

La operación básica de interpolación lineal entre dos valores se usa comúnmente en gráficos por computadora. En la jerga de ese campo, a veces se le llama lerp. El término se puede utilizar como verbo o sustantivo para la operación. por ejemplo, “el algoritmo de Bresenham se desplaza de forma incremental entre los dos puntos finales de la línea”.

Las operaciones de Lerp están integradas en el hardware de todos los procesadores de gráficos por computadora modernos. A menudo se utilizan como bloques de construcción para operaciones más complejas: por ejemplo, la interpolación bilineal se puede lograr en tres lerps. Porque esto operación es barato, también es una buena manera de implementar tablas de búsqueda precisas con una búsqueda rápida para funciones fluidas sin tener demasiadas entradas en la tabla.

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Fórmula para la interpolación

Digamos que tenemos dos puntos conocidos x1, y1x1, y1 y x2, y2x2, y2.

Ahora queremos estimar qué valor yy obtendríamos para algún valor xx que esté entre x1x1 y x2x2. Llame a esta estimación del valor yy: una interpolado valor.

Me vienen a la mente dos métodos sencillos para elegir yy. La primera es ver si xx está más cerca de x1x1 o de x2x2. Si xx está más cerca de x1x1, usamos y1y1 como estimación; de lo contrario, usamos y2y2. Se llama Vecino más cercano interpolación.

El segundo es trazar una línea recta entre x1, y1x1, y1 y x2, y2x2, y2. Buscamos ver el valor de yy en la línea de nuestro xx elegido. Este es una interpolación lineal.

Es posible mostrar que la fórmula de la línea entre x1, y1x1, y1 y x2, y2x2, y2 es:

y = y1 + (x − x1) y2 − y1x2 − x1y = y1 + (x − x1) y2 − y1x2 − x1

Fórmula de doble interpolación

Para realizar una interpolación lineal en Excel, usaremos la siguiente ecuación, donde x es la variable independiente e y es el valor que queremos buscar:

fórmula de interpolación lineal

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