Ley de Gauss y su aplicaci贸n

<p style=”text-align: justify;”>La ley de Gauss establece que el flujo de campo el茅ctrico neto a trav茅s de una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada por la superficie cerrada dividida por la permitividad del espacio.

Por lo tanto, matem谩ticamente se puede escribir como

eds = Qint/尉 (La integraci贸n se realiza sobre toda la superficie).

donde Qint = Carga total encerrada por la superficie cerrada

y 尉 = permitividad del espacio = 尉0尉r

Consideremos una superficie cerrada como se muestra en la figura a continuaci贸n y apliquemos la Ley de Gauss.

Ley de Gauss

La direcci贸n del campo el茅ctrico a trav茅s de la superficie cerrada se muestra en la figura. El flujo de campo el茅ctrico neto a trav茅s de la superficie cerrada.

eds = (q1+q2+q4-q3) / 尉

Cabe se帽alar aqu铆 que al aplicar la ley de Gauss, el campo el茅ctrico considerado a trav茅s de la superficie ser谩 el campo el茅ctrico neto debido a las cargas dentro y fuera de la superficie cerrada. Pero el Qint solo contabilizar谩 las cargas encerradas por la superficie, no contabilizar谩 las cargas fuera de la superficie.

Aplicaci贸n de la Ley de Gauss

La Ley de Gauss es muy 煤til para calcular el Campo El茅ctrico en cualquier punto. Usemos esta ley para encontrar el valor del campo en cualquier punto P de una barra larga infinita uniformemente cargada. Sea 位 la densidad de carga superficial de la barra infinitamente larga.

Campo-el茅ctrico-debido-a-l铆nea-cargada

Bueno, para aplicar la Ley de Gauss, el primer paso debe ser dibujar una superficie cerrada que pase por el punto P. Esta superficie cerrada es obviamente un cilindro. Deje que la longitud del cilindro sea ‘l’ y el radio sea ‘r’.

Como la l铆nea tiene carga uniforme y su longitud es infinita, el campo el茅ctrico en su superficie curva ser谩 uniforme y perpendicular a la superficie. As铆, el flujo de campo el茅ctrico a trav茅s de la superficie cerrada

脴 = 鈭eds

Dado que la direcci贸n del vector de 谩rea ds es perpendicular a la superficie ds y fuera del volumen, el vector de 谩rea ds y E son paralelos. Por lo tanto su producto escalar eds = Eds. Por eso,

脴 = 鈭獷ds

Dado que E es constante en la superficie, podemos sacarlo de la integraci贸n.

= mi 鈭玠s

Pero ds es el 谩rea de superficie curva total que es igual a 2蟺rl.

= Ex(2蟺rl)

Pero seg煤n la Ley de Gauss, el flujo del campo el茅ctrico neto es igual a la carga total encerrada dividida por la permitividad. Por eso,

Ex(2蟺rl) = Qint / 尉0

Ahora, necesitamos encontrar la carga total encerrada por la superficie. Dado que la densidad de carga superficial de la l铆nea es 位 y la longitud de la l铆nea encerrada por la superficie cerrada es ‘l’, entonces Qint = 位l.

Por lo tanto,

Ex(2蟺rl) = 位l / 尉0

E = 位 / 2蟺尉0r

La expresi贸n anterior da el valor del campo el茅ctrico a una distancia r de la varilla infinitamente larga cargada uniformemente.

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