Método de Gauss Seidel

Método de Gauss-Seidel se utiliza para resolver las ecuaciones del sistema lineal. Este método lleva el nombre del científico alemán Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig Siedel. Es un método de iteración para resolver n ecuaciones lineales con las variables desconocidas. Este método es muy simple y se usa en computadoras digitales para computación.

El método de Gauss-Seidel es la modificación del método de iteración de Gauss. Esta modificación reduce el número de iteraciones. En este método, el valor de desconocido reduce inmediatamente el número de iteraciones, el valor calculado reemplaza el valor anterior solo al final de la iteración. .Por eso, los métodos de Gauss-Seidel convergen mucho más rápido que los métodos de Gauss. En los métodos de Gauss Seidel, el número de métodos de iteración necesarios para obtener la solución es mucho menor en comparación con el método de Gauss.

Comprendamos el método de Gauss-Seidel con la ayuda de un ejemplo. Considere que la corriente total que ingresa al bus kth de un sistema de bus ‘n’ está dada por la ecuación que se muestra a continuación. Gauss-Seidel-eq-1

La potencia compleja inyectada en el k-ésimo bus se da como

El complejo conjugado de la ecuación anterior se convierte en Gauss-Seidel-eq-3

La eliminación de Ik de la ecuación (1) y (4) da Gauss-Seidel-eq-4

Por lo tanto, el voltaje en cualquier bus ‘k’ donde se especifican Pk y Qk está dado por la ecuación que se muestra a continuación. Gauss-Seidel-eq-5

La ecuación (6) que se muestra arriba es la parte principal del algoritmo iterativo.

En el bus 2, la ecuación se convierte en Gauss-Seidel-eq-6

En el bus 3, la ecuación se convierte en Gauss-Seidel-eq-7

Ahora, para el k-ésimo bus, el voltaje en la (r + 1)-ésima iteración viene dado por la ecuación que se muestra a continuación. Gauss-Seidel-eq-8

En la ecuación anterior, las cantidades Pk, Qk, Ykk e Yki son conocidas y no varían durante el ciclo de iteración.

Ahora, el valor de Ck y Dk se muestra a continuación, que se calcula al principio y se usa en cada paso de iteración. Gauss-Seidel-eq-9

Para el bus k-ésimo, el voltaje en la iteración (r + 1) se puede escribir como se muestra a continuación. Gauss-Seidel-eq-10

Factores de aceleración en el método de Gauss-Seidel

En el método de Gauss-Seidel, se requiere una gran cantidad de iteraciones para llegar a la convergencia especificada. La tasa de convergencia se puede aumentar mediante el uso del factor de aceleración a la solución obtenida después de cada iteración. El factor de aceleración es un multiplicador que mejora la corrección entre los valores de voltaje en dos iteraciones sucesivas.

Consideremos el Factor de aceleración para el i-ésimo autobús.

Vi(r) es el valor del voltaje en la r-ésima iteración.
Vi(r + 1) es el valor del voltaje en la (r + 1)ésima iteración.
Vi(acelerado)(r + 1) es el nuevo valor acelerado del voltaje en la (r+ 1) tercera iteración.
r es el conteo de iteraciones
α es el factor de aceleración

Luego, Gauss-Seidel-eq-11

Por lo tanto, después de calcular Vi(r + 1) en ( r + 1)ésima iteración, calculamos el valor de la nueva tensión de barra estimada Vi(acelerado)(r + 1) y este nuevo valor reemplaza el valor calculado previamente. Para las componentes reales e imaginarias de la tensión se utilizan diferentes factores de aceleración.

Si Vi se descompone en componentes reales e imaginarios como Gauss-Seidel-eq-12

Si α y β son el factor de aceleración asociado con ai y bi, entonces la ecuación queda como se muestra a continuación. Gauss-Seidel-eq-13

La elección de un valor específico del factor de aceleración depende de los parámetros del sistema. El valor óptimo de α suele estar en el rango de 1,2 a 1,6 para la mayoría de los sistemas.