Regla de producto y cociente: f贸rmula y ejemplos

<p>Regla de producto y cociente – Regla del cociente es una regla formal para diferenciar problemas en los que una funci贸n se divide por otra. Se deriva de la definici贸n l铆mite de derivada y viene dada por. Recuerde la regla de la siguiente manera. Siempre comience con la funci贸n “inferior” y termine con la funci贸n “inferior” al cuadrado. La regla del cociente se define como la cantidad del denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador en todo el denominador al cuadrado.

La regla del producto dice que la derivada de un producto de dos funciones es la primera funci贸n multiplicada por la derivada de la segunda funci贸n m谩s la segunda funci贸n multiplicada por la derivada de la primera funci贸n. La regla del producto debe utilizarse cuando se toma la derivada del cociente de dos funciones.

Índice de contenidos

Derivada de la regla del cociente

Definici贸n y f贸rmula

los regla del cociente es una f贸rmula para obtener la derivada de un cociente de dos funciones. Hace que sea un poco m谩s f谩cil realizar un seguimiento de todos los t茅rminos. Veamos la f贸rmula.

Si tiene la funci贸n f (x) en el numerador y la funci贸n g (x) en el denominador, entonces la derivada se encuentra usando esta f贸rmula:

F贸rmula de la derivada de la regla del cocienteF贸rmula de la derivada de la regla del cociente

Tome g (x) multiplicado por la derivada de f (x). En esta f贸rmula, la d denota una derivada. Entonces, df (x) significa la derivada de la funci贸n f y dg (x) significa la derivada de la funci贸n g. La f贸rmula establece que para encontrar la derivada de f (x) dividida por g (x), debes:

  1. Luego, de ese producto, debes restar el producto de f (x) por la derivada de g (x).
  2. Finalmente, divide esos t茅rminos por g (x) al cuadrado.

Dispositivo mnem贸nico

La f贸rmula de la regla del cociente puede ser un poco dif铆cil de recordar. Quiz谩s un peque帽o c谩ntico tipo yodeling pueda ayudarte. Imag铆nese una rana cantando, ‘LO dHI menos HI dLO sobre LO LO’. En este dispositivo mnem贸nico, LO se refiere a la funci贸n del denominador y HI se refiere a la funci贸n del numerador.

Derivada de la regla del cocienteDerivada de la regla del cociente

Traduzcamos el yodel de la rana de nuevo a la f贸rmula de la regla del cociente.

LO dHI significa denominador multiplicado por la derivada del numerador: g (x) multiplicado por df (x).

menos significa ‘menos’.

HI dLO significa numerador multiplicado por la derivada del denominador: f (x) multiplicado por dg (x).

sobre significa ‘dividir por’.

LO LO significa tomar el denominador multiplicado por s铆 mismo: g (x) al cuadrado.

F贸rmula de la derivada de la regla del cociente

Ahora, queremos poder tomar la derivada de una fracci贸n como f / g, donde f y g son dos funciones. Este es un poco m谩s complicado de recordar, pero afortunadamente viene con su propia canci贸n. La f贸rmula es la siguiente:

f贸rmulaf贸rmula

C贸mo recordar esta f贸rmula (gracias a Blancanieves y los siete enanitos):

Reemplazando f por hi y g por ho (hi para arriba en el numerador y ho para abajo en el denominador), y dejando que D sustituya a ‘la derivada de’, la f贸rmula se convierte en:

c贸mo recordar la f贸rmulac贸mo recordar la f贸rmula

En palabras, eso es “ho dee hi minus hi dee ho sobre ho ho”. Ahora, si Sleepy and Sneezy puede recordar eso, no deber铆a ser ning煤n problema para ti.

Como ejemplo,

ejemploejemplo

Un error com煤n: Recordar mal la regla del cociente y obtener un signo menos adicional en la respuesta. Es muy f谩cil olvidar si es ho dee ho primero (s铆, lo es) o ho dee ho primero (no, no lo es).

Producto derivado y regla del cociente

Si e (x) = f (x). g (x) y si existen ambas derivadas, entonces
e ‘(x) = f (x). g ‘(x) + f (x). g ‘(x)
En palabras, esto significa que la derivada de un producto es la primera funci贸n multiplicada por la derivada de la segunda funci贸n m谩s la segunda funci贸n multiplicada por la derivada de la primera funci贸n.

regla del productoregla del producto

Regla del cociente derivado parcial

Las derivadas parciales en c谩lculo son derivadas de funciones multivariadas tomadas con respecto a una sola variable en la funci贸n, tratando otras variables como si fueran constantes. Se pueden tomar derivadas repetidas de una funci贸n f (x, y) con respecto a la misma variable, obteniendo las derivadas Fxx y Fxxx, o tomando la derivada con respecto a una variable diferente, obteniendo las derivadas Fxy, Fxyx, Fxyy, etc. Parcial las derivadas son t铆picamente independientes del orden de diferenciaci贸n, lo que significa Fxy = Fyx.

derivada parcialderivada parcial

Calcula la derivada de la funci贸n f (x, y) con respecto a x determinando d / dx (f (x, y)), tratando y como si fuera una constante. Utilice la regla del producto y / o la regla de la cadena si es necesario. Por ejemplo, la primera derivada parcial Fx de la funci贸n f (x, y) = 3x ^ 2 * y – 2xy es 6xy – 2y.

Calcule la derivada de la funci贸n con respecto ay determinando d / dy (Fx), tratando x como si fuera una constante. En el ejemplo anterior, la derivada parcial Fxy de 6xy – 2y es igual a 6x – 2.

驴Cu谩l es la definici贸n de la regla del cociente?

Similar a la regla del producto, la regla del cociente es una forma de diferenciar el cociente o divisi贸n de funciones. La regla del cociente se define como la cantidad del denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador en todo el denominador al cuadrado.

驴Por qu茅 funciona la regla del cociente?

los regla del cociente es un regla utilizado para encontrar la derivada de una funci贸n que se puede escribir como el cociente de dos funciones. M谩s simplemente, puede pensar que la regla se aplica a funciones que se escriben como fracciones, donde el numerador y el denominador son funciones en s铆 mismas.

驴Qu茅 es la regla del producto Leibniz?

En c谩lculo, la regla general de Leibniz, que lleva el nombre de Gottfried Wilhelm Leibniz, generaliza la regla del producto (que tambi茅n se conoce como 鈥渞egla de Leibniz鈥). Establece que si y son funciones diferenciables veces, entonces el producto tambi茅n es diferenciable veces y su derivada est谩 dada por.

驴Cu谩l es la definici贸n de regla de producto?

La regla del producto es una regla formal para diferenciar problemas en los que una funci贸n se multiplica por otra. La regla se deriva de la definici贸n l铆mite de derivada y viene dada por. Recuerde la regla de la siguiente manera. Cada vez, diferencia una funci贸n diferente en el producto y suma los dos t茅rminos.

驴Cu谩l es la regla del producto en probabilidad?

La regla del producto es una gu铆a sobre cu谩ndo se pueden multiplicar las probabilidades para producir otra probabilidad significativa. Espec铆ficamente, la regla del producto se usa para encontrar la probabilidad de una intersecci贸n de eventos: sean A y B eventos independientes.

驴C贸mo se resuelve la regla del producto?

La regla del producto es si las dos “partes” de la funci贸n se multiplican juntas y la regla de la cadena es si se componen. Por ejemplo, para encontrar la derivada de f (x) = x虏 sin (x), usa la regla del producto y para encontrar la derivada de g (x) = sin (x虏) usa la regla de la cadena.

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