<p>Teorema del eje paralelo: Como alternativa a la integración, tanto el área como los momentos de inercia de masa se pueden calcular mediante el método de piezas compuestas, similar a lo que hicimos con los centroides. En este método, dividiremos una forma compleja en partes simples, buscaremos los momentos de inercia para estas partes en una tabla, ajustaremos los momentos de inercia para la posición y finalmente sumaremos los valores ajustados para encontrar el momento general de inercia. Este método se conoce como método de piezas compuestas.
Una parte clave de este proceso que no estaba presente en los cálculos de centroides es el ajuste por posición. Como sabemos, el área y los momentos de inercia de la masa dependen del eje de rotación elegido. Los momentos de inercia para las partes del cuerpo solo se pueden agregar cuando están tomado sobre el mismo eje. Sin embargo, los momentos de inercia en la tabla generalmente se enumeran en relación con el centroide de esa forma.
Debido a que cada parte tiene su propia coordenada centroide individual, no podemos simplemente sumar estos números. Usaremos algo llamado Teorema del eje paralelo para ajustar los momentos de inercia para que todos se tomen alrededor de algún eje o punto estándar. Una vez que los momentos de inercia se ajustan con el Teorema del eje paralelo, podemos sumarlos usando el método de partes compuestas.
Teorema del eje paralelo
Índice de contenidos
¿Qué es el teorema del eje paralelo?
En física, nos encanta simplificar situaciones. Después de todo, ¿quién quiere hacer matemáticas complejas basadas en el cálculo y pasar horas jugando con álgebra? Bueno, en realidad, supongo que a muchos físicos les gusta eso. Pero solo cuando sea realmente necesario.
En otras lecciones, hemos hablado del momento de inercia. Inercia rotacional, también conocido como momento de inercia, es un número que representa cuánta masa tiene un objeto en rotación y cómo se distribuye. Un objeto con más inercia rotacional es más difícil de acelerar. El momento de inercia se mide en kilogramos metros cuadrados (kg m2).
Pero todo en lo que nos hemos centrado implica situaciones que tienen objetos agradables y uniformes. Esferas, conchas, anillos … cualquier cosa simétrica. Y también asumió que esos objetos giraban alrededor de un eje que pasaba directamente por el centro de masa del objeto. Pero, ¿qué pasa cuando ese no es el caso?
Bueno, podrías hacer un montón de cálculos complejos. O, si no le gusta el cálculo, como la mayoría de la gente, puede usar el teorema del eje paralelo.
los teorema del eje paralelo establece que el momento de inercia de un objeto alrededor de un eje particular es igual al momento de inercia alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de masa, más la masa del objeto, multiplicada por la distancia a ese eje paralelo, al cuadrado.
El momento de inercia alrededor del centro de masa es un valor mínimo. Si mueve el eje de rotación a otra parte, aumenta el momento de inercia, lo difícil que es ralentizar o acelerar la rotación del objeto.
Ecuación / Fórmula
El teorema del eje paralelo es mucho más fácil de entender en forma de ecuación que en palabras. Aquí está:
I = Icm + señor ^ 2
Este diagrama muestra un objeto de forma aleatoria con un eje de rotación que no pasa por el centro de masa:
Pero si toma un eje de rotación paralelo que pasa por el centro de masa, podemos usarlo para calcular el momento de inercia a través del eje de rotación real.
Si conocemos, o podemos averiguar, el momento de inercia a través del eje del centro de masa, Icm, medido en kilogramos metros al cuadrado, y conocemos la masa total del objeto, m, medida en kilogramos, y la distancia al paralelo El eje está alejado del centro de masa, r, medido en metros, podemos simplemente conectar esos números y calcular el momento de inercia a través de nuestro eje de rotación descentrado.
Derivación / Prueba
Prueba del teorema del eje paralelo
Considere una masa rígida ′ M ′ que gira alrededor de un eje que pasa por un punto ‘O’ y es perpendicular al plano de la figura.
Sea el momento de inercia del cuerpo alrededor de un eje que pasa por el punto ‘O’. Tome otro eje de rotación paralelo que pase por el centro de masa del cuerpo.
Sea ′ Ic ′ el momento de inercia del cuerpo con respecto al punto ‘C’.
Sea la distancia entre los dos ejes paralelos OC = h.
OP = r y CP = r ‘
Tome un pequeño elemento del cuerpo de masa ‘dm’ situado en un punto P. Une OP y CP, luego
I ‘= ∫OP²dm = ∫r²dm
Ic = ∫CP²dm = ∫r’² dm
Desde el punto, P dibuja una perpendicular a OC producido.
Dejar CD = x
De la figura,
OP² = OD² + PD²
∴ OP² = (h + CD) ² + PD²
= h² + CD² + 2hCD + PD²
∴ OP² = CP² + h² + 2hCD (∵CD² + PD² = CP²)
∴r² = r’² + h² + 2hx
Multiplicando la ecuación anterior con ‘dm’ en ambos lados e integrando, obtenemos
∫r²dm = ∫r’² dm + ∫h²dm + ∫2hxdm
r²dm = ∫r’² dm + ∫h²dm + 2h∫xdm
∫xdm = 0 ya que ‘C’ es el centro de masa y la suma algebraica de momentos de todas las partículas alrededor del centro, la masa es siempre cero, para el cuerpo en equilibrio.
∴∫r²dm = ∫r’² dm + h²∫dm + 0 …… (1)
Pero ∫dm = M = Masa del cuerpo.
∫r²dm = I ‘y ∫r’² dm = Ic
Sustituyendo en la ecuación (1), obtenemos
I ‘= Ic + Mh²
Esto prueba el teorema de los ejes paralelos sobre el momento de inercia.
Ejemplos de
Una esfera uniforme de radio R = 30 cm está hecha de un material de densidad 5000 kg / m33. Encuentre el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de la esfera.
Ejemplo de teorema de eje paralelo
Preguntas frecuentes
¿Cuándo utilizar el teorema del eje paralelo? El teorema del eje paralelo se utiliza para encontrar el momento de inercia del área de un cuerpo rígido cuyo eje es paralelo al eje del cuerpo del momento conocido y pasa por el centro de gravedad del objeto. ¿Cuáles son las aplicaciones del teorema del eje perpendicular? A continuación se muestran las aplicaciones del teorema del eje perpendicular: el cálculo del momento de inercia alrededor del tercer eje es posible con la ayuda del teorema del eje perpendicular, el momento de inercia para objetos tridimensionales se puede determinar mediante el uso del teorema del eje perpendicular. ¿Cuál es la relación entre H – Eje vertical, I – Momento de inercia y K – Radio de giro en términos de ejes perpendiculares? La relación entre H – Eje vertical, I – Momento de inercia y K – Radio de giro en términos de ejes perpendiculares es Izz = Ixx + Iyy. ¿Cuál es la relevancia de la distancia en el teorema del eje paralelo? En el teorema del eje paralelo, se utilizan dos momentos de inercias mutuamente perpendiculares para el cálculo del área. Esto se determina usando el cuadrado de la distancia desde el eje de rotación. ¿Qué es el radio de giro? El radio de giro se define como la distancia de un punto donde se supone que toda el área del cuerpo está concentrada desde el eje dado.
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