Teorema del eje paralelo: definici贸n, f贸rmula, ejemplo, prueba y m谩s

<p>Teorema del eje paralelo: Como alternativa a la integraci贸n, tanto el 谩rea como los momentos de inercia de masa se pueden calcular mediante el m茅todo de piezas compuestas, similar a lo que hicimos con los centroides. En este m茅todo, dividiremos una forma compleja en partes simples, buscaremos los momentos de inercia para estas partes en una tabla, ajustaremos los momentos de inercia para la posici贸n y finalmente sumaremos los valores ajustados para encontrar el momento general de inercia. Este m茅todo se conoce como m茅todo de piezas compuestas.

Una parte clave de este proceso que no estaba presente en los c谩lculos de centroides es el ajuste por posici贸n. Como sabemos, el 谩rea y los momentos de inercia de la masa dependen del eje de rotaci贸n elegido. Los momentos de inercia para las partes del cuerpo solo se pueden agregar cuando est谩n tomado sobre el mismo eje. Sin embargo, los momentos de inercia en la tabla generalmente se enumeran en relaci贸n con el centroide de esa forma.

Debido a que cada parte tiene su propia coordenada centroide individual, no podemos simplemente sumar estos n煤meros. Usaremos algo llamado Teorema del eje paralelo para ajustar los momentos de inercia para que todos se tomen alrededor de alg煤n eje o punto est谩ndar. Una vez que los momentos de inercia se ajustan con el Teorema del eje paralelo, podemos sumarlos usando el m茅todo de partes compuestas.

Teorema del eje paraleloTeorema del eje paralelo

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驴Qu茅 es el teorema del eje paralelo?

En f铆sica, nos encanta simplificar situaciones. Despu茅s de todo, 驴qui茅n quiere hacer matem谩ticas complejas basadas en el c谩lculo y pasar horas jugando con 谩lgebra? Bueno, en realidad, supongo que a muchos f铆sicos les gusta eso. Pero solo cuando sea realmente necesario.

En otras lecciones, hemos hablado del momento de inercia. Inercia rotacional, tambi茅n conocido como momento de inercia, es un n煤mero que representa cu谩nta masa tiene un objeto en rotaci贸n y c贸mo se distribuye. Un objeto con m谩s inercia rotacional es m谩s dif铆cil de acelerar. El momento de inercia se mide en kilogramos metros cuadrados (kg m2).

Pero todo en lo que nos hemos centrado implica situaciones que tienen objetos agradables y uniformes. Esferas, conchas, anillos … cualquier cosa sim茅trica. Y tambi茅n asumi贸 que esos objetos giraban alrededor de un eje que pasaba directamente por el centro de masa del objeto. Pero, 驴qu茅 pasa cuando ese no es el caso?

Bueno, podr铆as hacer un mont贸n de c谩lculos complejos. O, si no le gusta el c谩lculo, como la mayor铆a de la gente, puede usar el teorema del eje paralelo.

los teorema del eje paralelo establece que el momento de inercia de un objeto alrededor de un eje particular es igual al momento de inercia alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de masa, m谩s la masa del objeto, multiplicada por la distancia a ese eje paralelo, al cuadrado.

El momento de inercia alrededor del centro de masa es un valor m铆nimo. Si mueve el eje de rotaci贸n a otra parte, aumenta el momento de inercia, lo dif铆cil que es ralentizar o acelerar la rotaci贸n del objeto.

Ecuaci贸n / F贸rmula

El teorema del eje paralelo es mucho m谩s f谩cil de entender en forma de ecuaci贸n que en palabras. Aqu铆 est谩:

I = Icm + se帽or ^ 2

Este diagrama muestra un objeto de forma aleatoria con un eje de rotaci贸n que no pasa por el centro de masa:

Pero si toma un eje de rotaci贸n paralelo que pasa por el centro de masa, podemos usarlo para calcular el momento de inercia a trav茅s del eje de rotaci贸n real.

Si conocemos, o podemos averiguar, el momento de inercia a trav茅s del eje del centro de masa, Icm, medido en kilogramos metros al cuadrado, y conocemos la masa total del objeto, m, medida en kilogramos, y la distancia al paralelo El eje est谩 alejado del centro de masa, r, medido en metros, podemos simplemente conectar esos n煤meros y calcular el momento de inercia a trav茅s de nuestro eje de rotaci贸n descentrado.

Derivaci贸n / Prueba

Prueba del teorema del eje paraleloPrueba del teorema del eje paralelo

Considere una masa r铆gida 鈥 M 鈥 que gira alrededor de un eje que pasa por un punto ‘O’ y es perpendicular al plano de la figura.
Sea el momento de inercia del cuerpo alrededor de un eje que pasa por el punto ‘O’. Tome otro eje de rotaci贸n paralelo que pase por el centro de masa del cuerpo.
Sea 鈥 Ic 鈥 el momento de inercia del cuerpo con respecto al punto ‘C’.
Sea la distancia entre los dos ejes paralelos OC = h.

OP = r y CP = r ‘

Tome un peque帽o elemento del cuerpo de masa ‘dm’ situado en un punto P. Une OP y CP, luego

I ‘= 鈭玂P虏dm = 鈭玶虏dm
Ic = 鈭獵P虏dm = 鈭玶’虏 dm

Desde el punto, P dibuja una perpendicular a OC producido.
Dejar CD = x

De la figura,

OP虏 = OD虏 + PD虏

鈭 OP虏 = (h + CD) 虏 + PD虏

= h虏 + CD虏 + 2hCD + PD虏

鈭 OP虏 = CP虏 + h虏 + 2hCD (鈭礐D虏 + PD虏 = CP虏)

鈭磖虏 = r’虏 + h虏 + 2hx

Multiplicando la ecuaci贸n anterior con ‘dm’ en ambos lados e integrando, obtenemos

鈭玶虏dm = 鈭玶’虏 dm + 鈭玥虏dm + 鈭2hxdm
r虏dm = 鈭玶’虏 dm + 鈭玥虏dm + 2h鈭玿dm

鈭玿dm = 0 ya que ‘C’ es el centro de masa y la suma algebraica de momentos de todas las part铆culas alrededor del centro, la masa es siempre cero, para el cuerpo en equilibrio.

鈭粹埆r虏dm = 鈭玶’虏 dm + h虏鈭玠m + 0 鈥︹ (1)

Pero 鈭玠m = M = Masa del cuerpo.

鈭玶虏dm = I ‘y 鈭玶’虏 dm = Ic

Sustituyendo en la ecuaci贸n (1), obtenemos

I ‘= Ic + Mh虏

Esto prueba el teorema de los ejes paralelos sobre el momento de inercia.

Ejemplos de

Una esfera uniforme de radio R = 30 cm est谩 hecha de un material de densidad 5000 kg / m33. Encuentre el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de la esfera.

Ejemplo de teorema de eje paraleloEjemplo de teorema de eje paralelo

Preguntas frecuentes

驴Cu谩ndo utilizar el teorema del eje paralelo? El teorema del eje paralelo se utiliza para encontrar el momento de inercia del 谩rea de un cuerpo r铆gido cuyo eje es paralelo al eje del cuerpo del momento conocido y pasa por el centro de gravedad del objeto. 驴Cu谩les son las aplicaciones del teorema del eje perpendicular? A continuaci贸n se muestran las aplicaciones del teorema del eje perpendicular: el c谩lculo del momento de inercia alrededor del tercer eje es posible con la ayuda del teorema del eje perpendicular, el momento de inercia para objetos tridimensionales se puede determinar mediante el uso del teorema del eje perpendicular. 驴Cu谩l es la relaci贸n entre H – Eje vertical, I – Momento de inercia y K – Radio de giro en t茅rminos de ejes perpendiculares? La relaci贸n entre H – Eje vertical, I – Momento de inercia y K – Radio de giro en t茅rminos de ejes perpendiculares es Izz = Ixx + Iyy. 驴Cu谩l es la relevancia de la distancia en el teorema del eje paralelo? En el teorema del eje paralelo, se utilizan dos momentos de inercias mutuamente perpendiculares para el c谩lculo del 谩rea. Esto se determina usando el cuadrado de la distancia desde el eje de rotaci贸n. 驴Qu茅 es el radio de giro? El radio de giro se define como la distancia de un punto donde se supone que toda el 谩rea del cuerpo est谩 concentrada desde el eje dado.

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