Teorema del valor inicial

El teorema del valor inicial es una herramienta muy útil para el análisis transitorio y el cálculo del valor inicial de una función f

donde F(s) = Transformada de Laplace de f

Comprendamos ahora este teorema en detalle. El valor inicial de una función en sí significa el valor de la función cercano a cero. Matemáticamente podemos decir que el valor inicial de la función significa el valor límite de la función cuando el tiempo tiende a cero. Esto significa,

Tenga en cuenta que el valor límite de f

Por lo tanto, está claro que el Teorema del Valor Inicial (IVT) nos dará un método para calcular el valor f(0+). Estamos bastante familiarizados con el uso de la Transformación de Laplace para facilitar los cálculos rigurosos. Por lo tanto, a menudo convertimos la función del dominio del tiempo en el dominio de la frecuencia utilizando la Transformación de Laplace. Para recordar La transformación de Laplace de la función f

Prueba del teorema del valor inicial:

Así que nuestro objetivo es encontrar f(0+). Sabemos que la Transformación de Laplace de la derivada de la función f

Lo sabemos,

L[df

Tomando límite a ambos lados cuando s → ∞

límite L[df

s → ∞ s → ∞ Dado que la función tendrá cierto valor inicial, por lo tanto f(0+) se supone constante. Por lo tanto, f(0+)= lím sF(s) – lím L[df

Pero

De (1), podemos escribir

f(0+) = límite sF(s) s → ∞

Así Valor inicial de f

s → ∞

Por lo tanto, para aplicar IVT, primero necesitamos encontrar la transformada de función de Laplace y luego usar el teorema para calcular el valor inicial. Pero en caso de que el valor inicial de la función se pueda encontrar fácilmente en el dominio del tiempo, no es aconsejable aplicar el Teorema del valor inicial. Echemos un vistazo a algunos ejemplos.

Ejemplo 1: Una función en el dominio de Laplace se da como

F(s) = 2/s -1/(s+3)

Encuentre el valor inicial de esta función.

Solución:

Dado que la función se da en el dominio de Laplace, debemos aplicar IVT para obtener el valor inicial. Primero encontraremos sF(s).

sF(s) = 2 – s/(s+3)

= 2 – 1/(1+3/s)

Usando el teorema del valor inicial,

f(0+) = lím sF(s) s → ∞ = lím [2 – 1/(1+3/s)]

s → ∞ = (2 – 1) = 1 (Respuesta)

Ejemplo-2:

Se da una función como

Encuentre el valor inicial de esta función.

Solución:

Aquí la función se da en el dominio del tiempo. Entonces, antes de aplicar IVT, primero verificaremos si su valor inicial se puede calcular fácilmente en el dominio del tiempo sin usar IVT.

f(0+) = lím Ae-αtsin(δt + Ø) t→ 0 = AsinØ (Respuesta)

Tenga en cuenta que aquí no aplicamos IVT para obtener el valor inicial, sino que lo calculamos utilizando un método convencional simple.

Espero que hayas disfrutado la publicación y hayas entendido el teorema del valor inicial. Si tiene alguna duda o valor agregado, por favor escriba en la caja de comentarios.