Teorema del valor inicial

<p style=”text-align: justify;”>El teorema del valor inicial es una herramienta muy 煤til para el an谩lisis transitorio y el c谩lculo del valor inicial de una funci贸n f

Valor inicial Teorema-1

donde F(s) = Transformada de Laplace de f

Comprendamos ahora este teorema en detalle. El valor inicial de una funci贸n en s铆 significa el valor de la funci贸n cercano a cero. Matem谩ticamente podemos decir que el valor inicial de la funci贸n significa el valor l铆mite de la funci贸n cuando el tiempo tiende a cero. Esto significa,

Valor inicial Teorema-2

Tenga en cuenta que el valor l铆mite de f

Por lo tanto, est谩 claro que el Teorema del Valor Inicial (IVT) nos dar谩 un m茅todo para calcular el valor f(0+). Estamos bastante familiarizados con el uso de la Transformaci贸n de Laplace para facilitar los c谩lculos rigurosos. Por lo tanto, a menudo convertimos la funci贸n del dominio del tiempo en el dominio de la frecuencia utilizando la Transformaci贸n de Laplace. Para recordar La transformaci贸n de Laplace de la funci贸n f

Transformada de Laplace

Prueba del teorema del valor inicial:

As铆 que nuestro objetivo es encontrar f(0+). Sabemos que la Transformaci贸n de Laplace de la derivada de la funci贸n f

Lo sabemos,

L[df

Tomando l铆mite a ambos lados cuando s 鈫 鈭

l铆mite L[df

s 鈫 鈭 s 鈫 鈭 Dado que la funci贸n tendr谩 cierto valor inicial, por lo tanto f(0+) se supone constante. Por lo tanto, f(0+)= l铆m sF(s) 鈥 l铆m L[df

Pero

Prueba del teorema del valor inicial

De (1), podemos escribir

f(0+) = l铆mite sF(s) s 鈫 鈭

As铆 Valor inicial de f

s

Por lo tanto, para aplicar IVT, primero necesitamos encontrar la transformada de funci贸n de Laplace y luego usar el teorema para calcular el valor inicial. Pero en caso de que el valor inicial de la funci贸n se pueda encontrar f谩cilmente en el dominio del tiempo, no es aconsejable aplicar el Teorema del valor inicial. Echemos un vistazo a algunos ejemplos.

Ejemplo 1: Una funci贸n en el dominio de Laplace se da como

F(s) = 2/s -1/(s+3)

Encuentre el valor inicial de esta funci贸n.

Soluci贸n:

Dado que la funci贸n se da en el dominio de Laplace, debemos aplicar IVT para obtener el valor inicial. Primero encontraremos sF(s).

sF(s) = 2 鈥 s/(s+3)

= 2 鈥 1/(1+3/s)

Usando el teorema del valor inicial,

f(0+) = l铆m sF(s) s 鈫 鈭 = l铆m [2 鈥 1/(1+3/s)]

s 鈫 鈭 = (2 鈥 1) = 1 (Respuesta)

Ejemplo-2:

Se da una funci贸n como

F

Encuentre el valor inicial de esta funci贸n.

Soluci贸n:

Aqu铆 la funci贸n se da en el dominio del tiempo. Entonces, antes de aplicar IVT, primero verificaremos si su valor inicial se puede calcular f谩cilmente en el dominio del tiempo sin usar IVT.

f(0+) = l铆m Ae-伪tsin(未t + 脴) t鈫 0 = Asin脴 (Respuesta)

Tenga en cuenta que aqu铆 no aplicamos IVT para obtener el valor inicial, sino que lo calculamos utilizando un m茅todo convencional simple.

Espero que hayas disfrutado la publicaci贸n y hayas entendido el teorema del valor inicial. Si tiene alguna duda o valor agregado, por favor escriba en la caja de comentarios.

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