Teoremas booleanos

<p>teoremas booleanos y leyes se utilizan para simplificar las diversas expresiones l贸gicas. En un problema de dise帽o digital, se desarrolla una expresi贸n l贸gica 煤nica a partir de la tabla de verdad. Si se simplifica esta expresi贸n l贸gica, el dise帽o se vuelve m谩s f谩cil. El 谩lgebra booleana se utiliza principalmente en electr贸nica digital, teor铆a de conjuntos y electr贸nica digital.

Tambi茅n se utiliza en todos los lenguajes de programaci贸n modernos. Por lo tanto, los teoremas booleanos ayudan en este sentido.

Existen pocas leyes y teoremas b谩sicos del 谩lgebra booleana, algunos de los cuales son familiares para todos, como la ley acumulativa, la ley asociativa, la ley distributiva, los teoremas de DeMorgan, la ley de doble inversi贸n y los teoremas de dualidad.

Índice de contenidos

La ley acumulativa

Las dos ecuaciones siguientes se basan en el hecho de que la salida de una puerta OR o AND no se ve afectada mientras que las entradas se intercambian.

La ecuaci贸n de la ley acumulativa se da a continuaci贸n:Boolean-theorems-eq-1

La ley asociativa

La ecuaci贸n se da como:Boolean-theorems-eq-2

Estas leyes ilustran que el orden de combinaci贸n de las variables de entrada no tiene efecto en la respuesta final.

La ley distributiva

La ecuaci贸n se da a continuaci贸n:Boolean-theorems-eq-3

La ley distributiva se puede entender por la equivalencia l贸gica correspondiente que se muestra a continuaci贸n. Las cuatro identidades b谩sicas de las operaciones OR se dan a continuaci贸n:

Boolean-theorems-eq-4

La autenticaci贸n de todas las ecuaciones anteriores se puede comprobar sustituyendo el valor de A = 0 o A = 1.

Las tres identidades b谩sicas de las operaciones AND se dan a continuaci贸n:Boolean-theorems-eq-5

Se puede verificar la validez de las identidades anteriores sustituyendo el valor de A = 0 o A = 1

Ley de doble inversi贸n

La regla de la doble inversi贸n se muestra en la siguiente ecuaci贸n:Boolean-theorems-eq-6

La ley establece que el doble complemento (complemento del complemento) de una variable es igual a la propia variable.

Teoremas de DeMorgan

El teorema de DeMorgan se analiza en detalle en el art铆culo Teorema de DeMorgan.

Las ecuaciones se dan a continuaci贸n:Boolean-theorems-eq-7

La ecuaci贸n (6) dice que una compuerta NOR es equivalente a una compuerta AND burbujeante, y la ecuaci贸n (7) dice que la compuerta NAND es equivalente a una compuerta OR burbujeante.

Ver tambi茅n: Teorema de DeMorgan

Teoremas de dualidad

La nueva relaci贸n booleana se puede derivar con la ayuda del teorema de la dualidad. De acuerdo con este teorema para la relaci贸n booleana dada, la nueva relaci贸n booleana se puede derivar mediante los siguientes pasos:

  • Cambiar cada signo O por un signo Y.
  • Cambiar cada signo AND por un signo OR.
  • Complementando cada 0 o 1 que aparece en la identidad booleana dada.

Por ejemplo:

La ley distributiva establece queBoolean-theorems-eq-8

Ahora, usando el teorema de dualidad, podemos obtener la nueva relaci贸n intercambiando cada signo OR y AND. La ecuaci贸n (8) se convierte en.Boolean-theorems-eq-9

La ecuaci贸n (9) es una nueva relaci贸n booleana. De manera similar, para cualquier otra relaci贸n booleana, tambi茅n se puede derivar su relaci贸n dual.

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