Teoremas booleanos

<p>teoremas booleanos y leyes se utilizan para simplificar las diversas expresiones lógicas. En un problema de diseño digital, se desarrolla una expresión lógica única a partir de la tabla de verdad. Si se simplifica esta expresión lógica, el diseño se vuelve más fácil. El álgebra booleana se utiliza principalmente en electrónica digital, teoría de conjuntos y electrónica digital.

También se utiliza en todos los lenguajes de programación modernos. Por lo tanto, los teoremas booleanos ayudan en este sentido.

Existen pocas leyes y teoremas básicos del álgebra booleana, algunos de los cuales son familiares para todos, como la ley acumulativa, la ley asociativa, la ley distributiva, los teoremas de DeMorgan, la ley de doble inversión y los teoremas de dualidad.

Índice de contenidos

La ley acumulativa

Las dos ecuaciones siguientes se basan en el hecho de que la salida de una puerta OR o AND no se ve afectada mientras que las entradas se intercambian.

La ecuación de la ley acumulativa se da a continuación:Boolean-theorems-eq-1

La ley asociativa

La ecuación se da como:Boolean-theorems-eq-2

Estas leyes ilustran que el orden de combinación de las variables de entrada no tiene efecto en la respuesta final.

La ley distributiva

La ecuación se da a continuación:Boolean-theorems-eq-3

La ley distributiva se puede entender por la equivalencia lógica correspondiente que se muestra a continuación. Las cuatro identidades básicas de las operaciones OR se dan a continuación:

Boolean-theorems-eq-4

La autenticación de todas las ecuaciones anteriores se puede comprobar sustituyendo el valor de A = 0 o A = 1.

Las tres identidades básicas de las operaciones AND se dan a continuación:Boolean-theorems-eq-5

Se puede verificar la validez de las identidades anteriores sustituyendo el valor de A = 0 o A = 1

Ley de doble inversión

La regla de la doble inversión se muestra en la siguiente ecuación:Boolean-theorems-eq-6

La ley establece que el doble complemento (complemento del complemento) de una variable es igual a la propia variable.

Teoremas de DeMorgan

El teorema de DeMorgan se analiza en detalle en el artículo Teorema de DeMorgan.

Las ecuaciones se dan a continuación:Boolean-theorems-eq-7

La ecuación (6) dice que una compuerta NOR es equivalente a una compuerta AND burbujeante, y la ecuación (7) dice que la compuerta NAND es equivalente a una compuerta OR burbujeante.

Ver también: Teorema de DeMorgan

Teoremas de dualidad

La nueva relación booleana se puede derivar con la ayuda del teorema de la dualidad. De acuerdo con este teorema para la relación booleana dada, la nueva relación booleana se puede derivar mediante los siguientes pasos:

  • Cambiar cada signo O por un signo Y.
  • Cambiar cada signo AND por un signo OR.
  • Complementando cada 0 o 1 que aparece en la identidad booleana dada.

Por ejemplo:

La ley distributiva establece queBoolean-theorems-eq-8

Ahora, usando el teorema de dualidad, podemos obtener la nueva relación intercambiando cada signo OR y AND. La ecuación (8) se convierte en.Boolean-theorems-eq-9

La ecuación (9) es una nueva relación booleana. De manera similar, para cualquier otra relación booleana, también se puede derivar su relación dual.

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