Transformada de Laplace: cómo se convirtió el dominio del tiempo en el dominio de la frecuencia

En el sistema de control, a menudo nos encontramos con la transformada de Laplace. La función de transferencia se expresa como la relación de la transformada de Laplace de salida y entrada a un sistema. La transformada de Laplace se utiliza para facilitar el cálculo, ya que resolver ecuaciones diferenciales es bastante tedioso. Supongamos que hay una ecuación diferencial de segundo orden, entonces resolver la ecuación diferencial de segundo orden será muy tedioso, pero si convertimos esta ecuación diferencial en la Transformada de Laplace, se reducirá a una ecuación cuadrática que es fácil de resolver. La Transformada de Laplace convierte la función de dominio del tiempo f

Origen de la transformada de Laplace

Consideremos una función en el dominio del tiempo e-jwt.

e-jwt = Coswt + jSinwt

La magnitud de esta función es obviamente UNIDAD. Pero la característica importante de esta función es que es un vector giratorio en dirección contraria a las manecillas del reloj con velocidad angular w como se muestra en la figura a continuación.

El vector OM se puede dividir en dos componentes, uno a lo largo del eje X y otro a lo largo del eje Y. Así podemos escribir

OM = OMCosƟ + j(OM)SinƟ donde Ɵ = wt

Pero la magnitud de OM = 1, por lo tanto

OM = CosƟ + jSinƟ = Coswt + jSinwt

= e-jwt

Por lo tanto, si multiplicamos cualquier función de dominio de tiempo f

Para obtener la respuesta, consideramos una función g

Del gráfico anterior podemos ver que el valor de la función cuando el tiempo tiende a infinito es cero. Esto significa que la función converge. Por lo tanto, siempre que la función se multiplica por e-jw, se vuelve de naturaleza convergente. Por lo tanto, para encontrar el valor agregado de g