Ley de Gauss y su aplicación

La ley de Gauss establece que el flujo de campo eléctrico neto a través de una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada por la superficie cerrada dividida por la permitividad del espacio.

Por lo tanto, matemáticamente se puede escribir como

∫eds = Qint/ξ (La integración se realiza sobre toda la superficie).

donde Qint = Carga total encerrada por la superficie cerrada

y ξ = permitividad del espacio = ξ0ξr

Consideremos una superficie cerrada como se muestra en la figura a continuación y apliquemos la Ley de Gauss.

La dirección del campo eléctrico a través de la superficie cerrada se muestra en la figura. El flujo de campo eléctrico neto a través de la superficie cerrada.

∫eds = (q1+q2+q4-q3) / ξ

Cabe señalar aquí que al aplicar la ley de Gauss, el campo eléctrico considerado a través de la superficie será el campo eléctrico neto debido a las cargas dentro y fuera de la superficie cerrada. Pero el Qint solo contabilizará las cargas encerradas por la superficie, no contabilizará las cargas fuera de la superficie.

Aplicación de la Ley de Gauss

La Ley de Gauss es muy útil para calcular el Campo Eléctrico en cualquier punto. Usemos esta ley para encontrar el valor del campo en cualquier punto P de una barra larga infinita uniformemente cargada. Sea λ la densidad de carga superficial de la barra infinitamente larga.

Bueno, para aplicar la Ley de Gauss, el primer paso debe ser dibujar una superficie cerrada que pase por el punto P. Esta superficie cerrada es obviamente un cilindro. Deje que la longitud del cilindro sea ‘l’ y el radio sea ‘r’.

Como la línea tiene carga uniforme y su longitud es infinita, el campo eléctrico en su superficie curva será uniforme y perpendicular a la superficie. Así, el flujo de campo eléctrico a través de la superficie cerrada

Ø = ∫eds

Dado que la dirección del vector de área ds es perpendicular a la superficie ds y fuera del volumen, el vector de área ds y E son paralelos. Por lo tanto su producto escalar eds = Eds. Por eso,

Ø = ∫Eds

Dado que E es constante en la superficie, podemos sacarlo de la integración.

= mi ∫ds

Pero ds es el área de superficie curva total que es igual a 2πrl.

= Ex(2πrl)

Pero según la Ley de Gauss, el flujo del campo eléctrico neto es igual a la carga total encerrada dividida por la permitividad. Por eso,

Ex(2πrl) = Qint / ξ0

Ahora, necesitamos encontrar la carga total encerrada por la superficie. Dado que la densidad de carga superficial de la línea es λ y la longitud de la línea encerrada por la superficie cerrada es ‘l’, entonces Qint = λl.

Por lo tanto,

Ex(2πrl) = λl / ξ0

⇒E = λ / 2πξ0r

La expresión anterior da el valor del campo eléctrico a una distancia r de la varilla infinitamente larga cargada uniformemente.